Xin chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán phương trình tích khá thú vị. Dạng phương trình này rất thường gặp trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta. Hãy cùng xem xét phương trình sau đây nhé:

\( ( 8 x − 4 ) ( − x^2 + 2 x − 2 ) = 0 \)

Để giải phương trình này, chúng ta cần nhớ một nguyên tắc rất quan trọng trong đại số: “Nếu tích của hai hay nhiều thừa số bằng 0, thì ít nhất một trong các thừa số đó phải bằng 0”.
Nói cách khác, nếu chúng ta có \( A \cdot B = 0 \), thì điều đó có nghĩa là \( A = 0 \) hoặc \( B = 0 \) (hoặc cả hai).

Áp dụng nguyên tắc này vào phương trình của chúng ta, chúng ta sẽ chia thành hai trường hợp:

Trường hợp 1: Thừa số thứ nhất bằng 0.

\( 8 x − 4 = 0 \)

Đây là một phương trình tuyến tính (hay phương trình bậc nhất một ẩn) mà chúng ta đã học rất kỹ. Để giải nó, chúng ta sẽ chuyển các số hạng không chứa \( x \) sang vế phải:

\( 8 x = 4 \)

Tiếp theo, chúng ta chia cả hai vế cho 8 để tìm giá trị của \( x \):

\( x = \frac{4}{8} \)

Rút gọn phân số, chúng ta được nghiệm thứ nhất:

\( x = \frac{1}{2} \)

Trường hợp 2: Thừa số thứ hai bằng 0.

\( – x^2 + 2 x − 2 = 0 \)

Đây là một phương trình bậc hai. Để giải phương trình bậc hai, chúng ta có thể thử các phương pháp như phân tích đa thức thành nhân tử (nếu có thể), hoặc sử dụng công thức nghiệm tổng quát.
Trước hết, để dễ dàng hơn trong việc tính toán, chúng ta có thể nhân cả hai vế của phương trình với \( -1 \) để làm cho hệ số của \( x^2 \) dương:

\( (-1) \cdot ( – x^2 + 2 x − 2 ) = (-1) \cdot 0 \)

\( x^2 – 2 x + 2 = 0 \)

Bây giờ, chúng ta hãy thử xem liệu phương trình này có thể phân tích thành nhân tử được không. Chúng ta cần tìm hai số nào đó mà tích của chúng bằng 2 và tổng của chúng bằng -2. Các cặp số nguyên có tích bằng 2 là (1, 2) và (-1, -2).
Tổng của 1 và 2 là 3.
Tổng của -1 và -2 là -3.
Cả hai trường hợp đều không cho tổng bằng -2. Điều này cho thấy phương trình này không thể phân tích thành nhân tử một cách dễ dàng với các số nguyên.

Vậy, chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \), đó là:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)

Trong phương trình \( x^2 – 2x + 2 = 0 \), chúng ta có các hệ số sau:
\( a = 1 \)
\( b = -2 \)
\( c = 2 \)

Trước khi tính toán nghiệm, chúng ta hãy tính giá trị của biệt thức \(\Delta\) (delta), còn gọi là discriminant, được xác định bởi công thức \( \Delta = b^2 – 4ac \). Giá trị của biệt thức sẽ cho chúng ta biết phương trình có nghiệm thực hay không:

\( \Delta = (-2)^2 – 4 \cdot (1) \cdot (2) \)

\( \Delta = 4 – 8 \)

\( \Delta = -4 \)

Vì \( \Delta = -4 \), là một số âm ( \( \Delta < 0 \) ), điều này có nghĩa là phương trình bậc hai \( x^2 - 2x + 2 = 0 \) không có nghiệm thực. Trong chương trình học của chúng ta ở lớp 8, chúng ta chỉ xét các nghiệm là số thực. Các nghiệm phức (nếu có) sẽ được học ở các cấp học cao hơn.

Kết luận:

Từ hai trường hợp trên, chúng ta thấy rằng:

• Trường hợp 1 cho chúng ta một nghiệm thực là \( x = \frac{1}{2} \).
• Trường hợp 2 không cho nghiệm thực nào.

Vậy, phương trình ban đầu \( ( 8 x − 4 ) ( − x^2 + 2 x − 2 ) = 0 \) chỉ có một nghiệm thực duy nhất.

Nghiệm của phương trình là: \( \mathbf{x = \frac{1}{2}} \)

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn cách giải phương trình tích và cách xử lý với phương trình bậc hai không có nghiệm thực. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập khác để củng cố kiến thức nhé!

Chúc các em học tốt!