Chào các em học sinh yêu quý của thầy/cô!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và giải các bài tập liên quan đến một dạng toán rất quan trọng trong chương trình Đại số lớp 7, đó là các hằng đẳng thức đáng nhớ, cụ thể là bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu. Các bài toán này yêu cầu chúng ta phân tích đa thức thành nhân tử hoặc rút gọn biểu thức về dạng bình phương.

Trước khi vào giải chi tiết từng bài, thầy/cô muốn các em cùng nhắc lại hai hằng đẳng thức cơ bản này nhé:

• Bình phương của một tổng: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
• Bình phương của một hiệu: \( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)

Các em hãy ghi nhớ thật kỹ dấu hiệu nhận biết: Một biểu thức có dạng bình phương của một tổng/hiệu thường có hai số hạng là bình phương của một biểu thức nào đó, và số hạng còn lại là hai lần tích của hai biểu thức đó.

Bây giờ, chúng ta sẽ cùng giải chi tiết từng bài một nhé!

Bài giải chi tiết:

Bài 7: Phân tích biểu thức \( x^2 + 4y^4 – 4xy^2 \)

Lời giải:

Đầu tiên, chúng ta hãy sắp xếp lại các hạng tử của biểu thức cho dễ nhìn và dễ nhận biết hơn. Chúng ta thường đưa các số hạng có bình phương lên đầu hoặc cuối, và số hạng tích ở giữa.

Biểu thức đã cho là: \( x^2 + 4y^4 – 4xy^2 \)

Chúng ta có thể viết lại thành: \( x^2 – 4xy^2 + 4y^4 \)

Bây giờ, chúng ta hãy nhận diện các số hạng:

• Số hạng thứ nhất là \( x^2 \). Đây chính là bình phương của \( x \), tức là \( (x)^2 \). Vậy ta có \( a = x \).
• Số hạng thứ ba là \( 4y^4 \). Chúng ta có thể viết \( 4y^4 = (2y^2)^2 \). Đây chính là bình phương của \( 2y^2 \). Vậy ta có \( b = 2y^2 \).
• Số hạng ở giữa là \( -4xy^2 \). Chúng ta cần kiểm tra xem nó có phải là \( -2ab \) hay không.
  Thử tính \( -2ab = -2 \cdot (x) \cdot (2y^2) = -4xy^2 \).

Chúng ta thấy rằng số hạng ở giữa khớp chính xác với \( -2ab \).

Vậy biểu thức này có dạng của hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \( a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2 \).

Với \( a = x \) và \( b = 2y^2 \).

Do đó, \( x^2 – 4xy^2 + 4y^4 = (x – 2y^2)^2 \).

Kết quả cuối cùng: \( x^2 + 4y^4 – 4xy^2 = (x – 2y^2)^2 \).

Bài 8: Phân tích biểu thức \( x^2 + 10xy + 25y^2 \)

Lời giải:

Biểu thức đã cho là: \( x^2 + 10xy + 25y^2 \)

Chúng ta hãy cùng phân tích các số hạng nhé:

• Số hạng thứ nhất là \( x^2 \). Đây là bình phương của \( x \), tức là \( (x)^2 \). Vậy ta có \( a = x \).
• Số hạng thứ ba là \( 25y^2 \). Chúng ta có thể viết \( 25y^2 = (5y)^2 \). Đây là bình phương của \( 5y \). Vậy ta có \( b = 5y \).
• Số hạng ở giữa là \( 10xy \). Chúng ta kiểm tra xem nó có phải là \( 2ab \) hay không.
  Thử tính \( 2ab = 2 \cdot (x) \cdot (5y) = 10xy \).

Tuyệt vời! Số hạng ở giữa khớp chính xác với \( 2ab \).

Vậy biểu thức này có dạng của hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \).

Với \( a = x \) và \( b = 5y \).

Do đó, \( x^2 + 10xy + 25y^2 = (x + 5y)^2 \).

Kết quả cuối cùng: \( x^2 + 10xy + 25y^2 = (x + 5y)^2 \).

Bài 9: Phân tích biểu thức \( 9y^2 – 24xy + 16x^2 \)

Lời giải:

Biểu thức đã cho là: \( 9y^2 – 24xy + 16x^2 \)

Chúng ta có thể sắp xếp lại để các số hạng bình phương dễ nhận diện hơn, hoặc để nguyên cũng được, miễn là chúng ta nhận ra đúng “a” và “b”.

Hãy phân tích các số hạng:

• Số hạng thứ nhất là \( 9y^2 \). Đây là bình phương của \( 3y \), tức là \( (3y)^2 \).
• Số hạng thứ ba là \( 16x^2 \). Đây là bình phương của \( 4x \), tức là \( (4x)^2 \).
• Số hạng ở giữa là \( -24xy \).

Ở đây, chúng ta có thể coi \( a = 3y \) và \( b = 4x \) (hoặc ngược lại). Hãy thử kiểm tra với \( a = 3y \) và \( b = 4x \):

Tính \( -2ab = -2 \cdot (3y) \cdot (4x) = -24xy \).

Số hạng ở giữa khớp hoàn hảo!

Vậy biểu thức này có dạng của hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \( a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2 \).

Với \( a = 3y \) và \( b = 4x \).

Do đó, \( 9y^2 – 24xy + 16x^2 = (3y – 4x)^2 \).

(Lưu ý: Nếu em coi \( a = 4x \) và \( b = 3y \) thì biểu thức sẽ là \( (4x – 3y)^2 \). Cả hai cách viết \((3y – 4x)^2\) và \((4x – 3y)^2\) đều đúng vì \((X-Y)^2 = (Y-X)^2\)).

Kết quả cuối cùng: \( 9y^2 – 24xy + 16x^2 = (3y – 4x)^2 \).

Các em thấy không, các bài toán này không hề khó nếu chúng ta nắm vững hai hằng đẳng thức cơ bản và biết cách nhận diện các số hạng. Điều quan trọng là phải xác định đúng đâu là \( a^2 \), đâu là \( b^2 \) và đâu là \( 2ab \) (hoặc \( -2ab \)).

Hãy luyện tập thêm thật nhiều để thành thạo dạng bài này nhé! Có câu hỏi nào các em cứ mạnh dạn hỏi thầy/cô!

Chúc các em học tốt!