Chào các em học sinh lớp 7! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải hai bài tập rất thú vị về đa thức. Chúng ta sẽ cùng nhau áp dụng các kiến thức về hằng đẳng thức và quy tắc nhân đa thức vào giải bài nhé!

Bài tập 11: Rút gọn biểu thức \( (x+4)^2 + (x+5)(x-5) – 2x(x+1) \)

Bước 1: Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng cho \( (x+4)^2 \).

Chúng ta có hằng đẳng thức: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Áp dụng vào biểu thức, ta được: \( (x+4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16 \).

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương cho \( (x+5)(x-5) \).

Chúng ta có hằng đẳng thức: \( (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \).

Áp dụng vào biểu thức, ta được: \( (x+5)(x-5) = x^2 – 5^2 = x^2 – 25 \).

Bước 3: Nhân đơn thức \( -2x \) với đa thức \( (x+1) \).

Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức: \( -2x(x+1) = (-2x) \cdot x + (-2x) \cdot 1 = -2x^2 – 2x \).

Bước 4: Thay các kết quả vừa tìm được vào biểu thức ban đầu và rút gọn.

Biểu thức ban đầu là: \( (x+4)^2 + (x+5)(x-5) – 2x(x+1) \).

Thay thế vào, ta có: \( (x^2 + 8x + 16) + (x^2 – 25) + (-2x^2 – 2x) \).

Bây giờ, chúng ta bỏ ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:

\( x^2 + 8x + 16 + x^2 – 25 – 2x^2 – 2x \)

Nhóm các hạng tử chứa \( x^2 \): \( x^2 + x^2 – 2x^2 = (1+1-2)x^2 = 0x^2 = 0 \).

Nhóm các hạng tử chứa \( x \): \( 8x – 2x = (8-2)x = 6x \).

Nhóm các hạng tử tự do: \( 16 – 25 = -9 \).

Kết quả bài 11:

Vậy, biểu thức rút gọn là: \( 0 + 6x – 9 = 6x – 9 \).

—

Bài tập 12: Rút gọn biểu thức \( (x-1)^2 – (x-4)(x+4) + (x+3)^2 \).

Bước 1: Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu cho \( (x-1)^2 \).

Chúng ta có hằng đẳng thức: \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \).

Áp dụng vào biểu thức, ta được: \( (x-1)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 – 2x + 1 \).

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương cho \( (x-4)(x+4) \).

Chúng ta có hằng đẳng thức: \( (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 \).

Áp dụng vào biểu thức, ta được: \( (x-4)(x+4) = x^2 – 4^2 = x^2 – 16 \).

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng cho \( (x+3)^2 \).

Chúng ta có hằng đẳng thức: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Áp dụng vào biểu thức, ta được: \( (x+3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 \).

Bước 4: Thay các kết quả vừa tìm được vào biểu thức ban đầu và rút gọn.

Biểu thức ban đầu là: \( (x-1)^2 – (x-4)(x+4) + (x+3)^2 \).

Thay thế vào, ta có: \( (x^2 – 2x + 1) – (x^2 – 16) + (x^2 + 6x + 9) \).

Bây giờ, chúng ta bỏ ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng. Lưu ý dấu trừ trước dấu ngoặc thứ hai:

\( x^2 – 2x + 1 – x^2 + 16 + x^2 + 6x + 9 \)

Nhóm các hạng tử chứa \( x^2 \): \( x^2 – x^2 + x^2 = (1-1+1)x^2 = 1x^2 = x^2 \).

Nhóm các hạng tử chứa \( x \): \( -2x + 6x = (-2+6)x = 4x \).

Nhóm các hạng tử tự do: \( 1 + 16 + 9 = 26 \).

Kết quả bài 12:

Vậy, biểu thức rút gọn là: \( x^2 + 4x + 26 \).

Các em thấy đó, chỉ cần nắm vững các hằng đẳng thức và quy tắc nhân đa thức, chúng ta có thể giải quyết những bài toán tưởng chừng phức tạp này một cách dễ dàng. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé!