Chào các em học sinh lớp 10,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về bất phương trình có chứa tham số, một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán 10. Bài toán yêu cầu tìm tham số \(m\) để tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn có độ dài cho trước.

Đề bài: Tìm tham số \(m\) để bất phương trình \(x^2 – (2m-1)x + 2m – 2 \le 0\) có tập nghiệm là một đoạn có độ dài \(i = 5\).

Chúng ta cùng phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

—

Lời giải chi tiết:

Bất phương trình đã cho là: \(x^2 – (2m-1)x + 2m – 2 \le 0 \quad (*)\)

Đây là một bất phương trình bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c \le 0\).

Ở đây, ta có các hệ số: \(a=1\), \(b=-(2m-1)\), \(c=2m-2\).

Vì hệ số \(a=1 > 0\), nên parabol \(y = x^2 – (2m-1)x + 2m – 2\) có bề lõm hướng lên trên. Để bất phương trình \(ax^2 + bx + c \le 0\) có tập nghiệm là một đoạn, thì phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) phải có hai nghiệm phân biệt (hoặc nghiệm kép). Nếu có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\), thì tập nghiệm của bất phương trình sẽ là đoạn \([x_1, x_2]\) (hoặc \([x_2, x_1]\)).

Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai liên quan.

Chúng ta xét phương trình \(x^2 – (2m-1)x + 2m – 2 = 0 \quad (1)\).

Ta có thể tính Delta (\(\Delta\)) hoặc thử phân tích thành nhân tử.

Cách 1: Tính Delta

\(\Delta = b^2 – 4ac = (-(2m-1))^2 – 4(1)(2m-2)\)

\(\Delta = (2m-1)^2 – 4(2m-2)\)

\(\Delta = (4m^2 – 4m + 1) – (8m – 8)\)

\(\Delta = 4m^2 – 4m + 1 – 8m + 8\)

\(\Delta = 4m^2 – 12m + 9\)

\(\Delta = (2m-3)^2\)

Để phương trình có nghiệm, ta cần \(\Delta \ge 0\). Vì \(\Delta = (2m-3)^2 \ge 0\) với mọi \(m\), nên phương trình (1) luôn có nghiệm.

Các nghiệm của phương trình (1) là:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{(2m-1) \pm \sqrt{(2m-3)^2}}{2(1)}\)

\(x_{1,2} = \frac{(2m-1) \pm |2m-3|}{2}\)

Trường hợp 1: Lấy dấu “+”

\(x_1 = \frac{(2m-1) + (2m-3)}{2}\) (giả sử \(2m-3 \ge 0\))

\(x_1 = \frac{4m-4}{2} = 2m-2\)

Trường hợp 2: Lấy dấu “-“

\(x_2 = \frac{(2m-1) – (2m-3)}{2}\) (giả sử \(2m-3 \ge 0\))

\(x_2 = \frac{2m-1-2m+3}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

Vậy, hai nghiệm của phương trình là \(x_1 = 2m-2\) và \(x_2 = 1\).

Cách 2: Phân tích thành nhân tử (nhanh hơn nếu để ý)

Ta nhận thấy rằng nếu \(x=1\) là một nghiệm, thì:

\(1^2 – (2m-1)(1) + 2m – 2 = 1 – 2m + 1 + 2m – 2 = 0\).

Vậy \(x=1\) là một nghiệm của phương trình.

Theo định lý Vi-ét, tích hai nghiệm là \(x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 2m-2\).

Vì \(x_1 = 1\), suy ra \(1 \cdot x_2 = 2m-2\), vậy \(x_2 = 2m-2\).

Hai nghiệm là \(x=1\) và \(x=2m-2\).

Bước 2: Xác định tập nghiệm của bất phương trình.

Vì \(a=1 > 0\), bất phương trình \(x^2 – (2m-1)x + 2m – 2 \le 0\) có tập nghiệm là đoạn giữa hai nghiệm.
Tập nghiệm là \([min(1, 2m-2), max(1, 2m-2)]\).

Để tập nghiệm là một đoạn có độ dài \(i=5\) (khác 0), thì hai nghiệm phải phân biệt, tức là \(x_1 \neq x_2\).

\(1 \neq 2m-2 \implies 2m \neq 3 \implies m \neq \frac{3}{2}\).

Nếu \(m = \frac{3}{2}\), thì \(x_1 = x_2 = 1\). Bất phương trình trở thành \(x^2 – 2x + 1 \le 0 \iff (x-1)^2 \le 0\). Tập nghiệm là \(\{1\}\), có độ dài bằng 0. Điều này không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bước 3: Thiết lập điều kiện về độ dài của đoạn nghiệm.

Độ dài của đoạn nghiệm là \(\left| x_1 – x_2 \right|\).

Theo đề bài, độ dài này bằng 5.

Vậy, \(\left| (2m-2) – 1 \right| = 5\)

\(\left| 2m – 3 \right| = 5\)

Bước 4: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Phương trình \(\left| 2m – 3 \right| = 5\) sẽ dẫn đến hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(2m – 3 = 5\)

\(2m = 5 + 3\)

\(2m = 8\)

\(m = 4\)

Trường hợp 2: \(2m – 3 = -5\)

\(2m = -5 + 3\)

\(2m = -2\)

\(m = -1\)

Cả hai giá trị \(m=4\) và \(m=-1\) đều thỏa mãn điều kiện \(m \neq \frac{3}{2}\).

Bước 5: Kiểm tra lại (tùy chọn nhưng nên làm).

Với \(m=4\):

Bất phương trình trở thành: \(x^2 – (2(4)-1)x + 2(4) – 2 \le 0\)

\(x^2 – 7x + 6 \le 0\)

Nghiệm của \(x^2 – 7x + 6 = 0\) là \(x=1\) và \(x=6\).

Tập nghiệm là \([1, 6]\). Độ dài của đoạn này là \(6 – 1 = 5\). (Thỏa mãn)

Với \(m=-1\):

Bất phương trình trở thành: \(x^2 – (2(-1)-1)x + 2(-1) – 2 \le 0\)

\(x^2 – (-3)x – 4 \le 0\)

\(x^2 + 3x – 4 \le 0\)

Nghiệm của \(x^2 + 3x – 4 = 0\) là \(x=-4\) và \(x=1\).

Tập nghiệm là \([-4, 1]\). Độ dài của đoạn này là \(1 – (-4) = 5\). (Thỏa mãn)

Vậy, cả hai giá trị của \(m\) đều hợp lệ.

—

Kết luận:

Các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(x^2 – (2m-1)x + 2m – 2 \le 0\) có tập nghiệm là một đoạn có độ dài \(i = 5\) là \(m = 4\) hoặc \(m = -1\).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách trình bày và các bước giải quyết dạng toán này. Chúc các em học tốt!