Xin chào các em học sinh lớp 12! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán xác suất khá thú vị liên quan đến tình hình giao thông. Bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi đại học, nên việc nắm vững nó sẽ giúp các em rất nhiều.

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải quyết từng phần của bài toán.

Bài toán: Tại một trạm kiểm soát giao thông, trung bình 1 phút có 2 xe ô tô đi qua.

Phân tích bài toán:

Đầu tiên, chúng ta cần nhận diện loại phân phối xác suất phù hợp với bài toán này. Khi chúng ta quan tâm đến số lượng sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian hoặc một không gian cố định, và các sự kiện này xảy ra độc lập với nhau với một tỷ lệ trung bình đã biết, thì phân phối Poisson là lựa chọn tối ưu.

Gọi \(X\) là biến ngẫu nhiên đếm số xe ô tô đi qua trạm kiểm soát.

Theo đề bài, trung bình 1 phút có 2 xe ô tô đi qua. Đây chính là tham số trung bình (\(\lambda\)) của phân phối Poisson cho khoảng thời gian 1 phút.

Công thức của phân phối Poisson cho biến ngẫu nhiên \(X\) với tham số \(\lambda\) là:

P(X = k) = \( \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \), trong đó \(k\) là số sự kiện xảy ra, \(k \ge 0\), và \(e\) là cơ số của logarit tự nhiên (khoảng 2.71828).

Phần a) Tính xác suất để có đúng 6 xe đi qua trong vòng 3 phút.

Ở đây, chúng ta đang xem xét khoảng thời gian là 3 phút. Nếu trung bình 1 phút có 2 xe đi qua, thì trong 3 phút, số xe ô tô trung bình đi qua sẽ là:

\(\lambda_{3 \text{ phút}} = \text{Tốc độ trung bình} \times \text{Khoảng thời gian}\)

\(\lambda_{3 \text{ phút}} = 2 \text{ xe/phút} \times 3 \text{ phút} = 6 \text{ xe}\)

Như vậy, tham số \(\lambda\) cho khoảng thời gian 3 phút là 6. Chúng ta cần tính xác suất để có đúng 6 xe đi qua, tức là P(X = 6) khi \(\lambda = 6\).

Áp dụng công thức phân phối Poisson:

P(X = 6) = \( \frac{e^{-6} 6^6}{6!} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ tính toán giá trị này:

\(6^6 = 46656\)

\(6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\)

P(X = 6) = \( \frac{e^{-6} \times 46656}{720} \)

P(X = 6) = \( e^{-6} \times \frac{46656}{720} \)

P(X = 6) = \( e^{-6} \times 65.52 \)

Sử dụng máy tính để tính \(e^{-6}\):

\(e^{-6} \approx 0.00247875\)

P(X = 6) \(\approx 0.00247875 \times 65.52 \approx 0.162507\)

Vậy, xác suất để có đúng 6 xe ô tô đi qua trong vòng 3 phút là khoảng 0.1625.

Phần b) Tính xác suất để trong khoảng thời gian \(t\) phút, có ít nhất 1 xe ô tô đi qua. Xác định \(t\) để xác suất này là 0,99.

Trước hết, chúng ta xác định tham số \(\lambda\) cho khoảng thời gian \(t\) phút.

Nếu trung bình 1 phút có 2 xe đi qua, thì trung bình \(t\) phút sẽ có:

\(\lambda_t = 2 \times t\)

Gọi \(Y\) là biến ngẫu nhiên đếm số xe ô tô đi qua trong \(t\) phút. Theo phân phối Poisson, \(Y \sim Poisson(\lambda_t)\), với \(\lambda_t = 2t\).

Chúng ta cần tính xác suất để có ít nhất 1 xe ô tô đi qua. Điều này có nghĩa là số xe đi qua là 1, 2, 3, …

P(Y \(\ge\) 1) = P(Y = 1) + P(Y = 2) + P(Y = 3) + …

Việc tính tổng vô hạn này rất phức tạp. Tuy nhiên, chúng ta có thể sử dụng biến cố đối. Biến cố đối của “có ít nhất 1 xe đi qua” là “không có xe nào đi qua” (tức là có đúng 0 xe đi qua).

P(Y \(\ge\) 1) = 1 – P(Y = 0)

Với \(Y \sim Poisson(\lambda_t)\), xác suất để có đúng 0 xe đi qua là:

P(Y = 0) = \( \frac{e^{-\lambda_t} \lambda_t^0}{0!} \)

Nhắc lại, \(\lambda_t^0 = 1\) (với mọi \(\lambda_t\)) và \(0! = 1\).

Do đó, P(Y = 0) = \( \frac{e^{-\lambda_t} \times 1}{1} = e^{-\lambda_t} \)

Vậy, xác suất để có ít nhất 1 xe ô tô đi qua trong \(t\) phút là:

P(Y \(\ge\) 1) = \( 1 – e^{-\lambda_t} \)

Thay \(\lambda_t = 2t\) vào:

P(Y \(\ge\) 1) = \( 1 – e^{-2t} \)

Xác định \(t\) để xác suất này là 0,99.

Chúng ta có phương trình:

\( 1 – e^{-2t} = 0.99 \)

Chuyển vế:

\( e^{-2t} = 1 – 0.99 \)

\( e^{-2t} = 0.01 \)

Để giải phương trình này, chúng ta lấy logarit tự nhiên (ln) cả hai vế:

\( \ln(e^{-2t}) = \ln(0.01) \)

Theo tính chất của logarit, \(\ln(e^x) = x\), nên vế trái là \(-2t\).

\( -2t = \ln(0.01) \)

Chúng ta biết rằng \(0.01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}\).

\( -2t = \ln(10^{-2}) \)

Lại sử dụng tính chất \(\ln(a^b) = b \ln(a)\):

\( -2t = -2 \ln(10) \)

Chia cả hai vế cho -2:

\( t = \ln(10) \)

Bây giờ, chúng ta tính giá trị xấp xỉ của \(\ln(10)\):

\( \ln(10) \approx 2.302585 \)

Vậy, để xác suất có ít nhất 1 xe ô tô đi qua trong khoảng thời gian \(t\) phút là 0,99, thì \(t\) cần xấp xỉ 2.30 phút.

Tóm lại:

a) Xác suất để có đúng 6 xe đi qua trong vòng 3 phút là khoảng 0.1625.

b) Xác suất để trong khoảng thời gian \(t\) phút, có ít nhất 1 xe ô tô đi qua là \( 1 – e^{-2t} \). Để xác suất này là 0,99, thì \(t = \ln(10)\) xấp xỉ 2.30 phút.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi giáo viên nhé!