Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về biểu thức chứa căn bậc hai.

Bài toán: Cho \(B = (\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} – 1)\). Chứng minh rằng \(B > -2\) biết \((x \geq 0 ; x \ne 4 ; x \ne 1)\).

Để chứng minh \(B > -2\), chúng ta sẽ biến đổi biểu thức B và so sánh nó với -2.

Bước 1: Khai triển biểu thức B.

Ta có: \(B = (\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} – 1)\)

Sử dụng quy tắc nhân đa thức, ta nhân từng hạng tử của ngoặc thứ nhất với từng hạng tử của ngoặc thứ hai:

\(B = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} – \sqrt{x} \cdot 1 – 2 \cdot \sqrt{x} + 2 \cdot 1\)

\(B = x – \sqrt{x} – 2\sqrt{x} + 2\)

Kết hợp các hạng tử đồng dạng:

\(B = x – 3\sqrt{x} + 2\)

Bước 2: So sánh B với -2.

Ta cần chứng minh \(B > -2\). Điều này tương đương với việc chứng minh \(B – (-2) > 0\), hay \(B + 2 > 0\).

Xét hiệu \(B + 2\):

\(B + 2 = (x – 3\sqrt{x} + 2) + 2\)

\(B + 2 = x – 3\sqrt{x} + 4\)

Bước 3: Biến đổi biểu thức \(x – 3\sqrt{x} + 4\) về dạng bình phương để chứng minh nó luôn dương.

Chúng ta có thể coi đây là một tam thức bậc hai theo biến \(\sqrt{x}\). Đặt \(y = \sqrt{x}\), khi đó \(x = y^2\). Biểu thức trở thành \(y^2 – 3y + 4\).

Bây giờ chúng ta sẽ tìm cách đưa \(y^2 – 3y + 4\) về dạng bình phương cộng với một hằng số.

Ta sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương:

\(y^2 – 3y + 4 = (y^2 – 3y + (\frac{3}{2})^2) – (\frac{3}{2})^2 + 4\)

\(y^2 – 3y + 4 = (y – \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{4} + 4\)

\(y^2 – 3y + 4 = (y – \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{4} + \frac{16}{4}\)

\(y^2 – 3y + 4 = (y – \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}\)

Thay \(y = \sqrt{x}\) trở lại:

\(x – 3\sqrt{x} + 4 = (\sqrt{x} – \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}\)

Bước 4: Kết luận.

Ta có \(B + 2 = (\sqrt{x} – \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}\).

Vì \(\sqrt{x}\) là số thực, nên \((\sqrt{x} – \frac{3}{2})^2 \geq 0\) với mọi \(x \geq 0\).

Do đó, \((\sqrt{x} – \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4} \geq 0 + \frac{7}{4} = \frac{7}{4}\).

Vì \(\frac{7}{4} > 0\), nên \(B + 2 > 0\).

Điều này suy ra \(B > -2\).

Điều kiện \(x \geq 0\) đảm bảo \(\sqrt{x}\) có nghĩa. Các điều kiện \(x \ne 4\) và \(x \ne 1\) được cho để biểu thức ban đầu không có mẫu số bằng 0 nếu nó ở dạng phân số, hoặc để tránh các trường hợp đặc biệt có thể làm đơn giản hóa quá trình chứng minh ban đầu, nhưng với cách biến đổi này, chúng không ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả cuối cùng \(B > -2\).

Vậy, ta đã chứng minh được \(B > -2\).

Cảm ơn các em đã theo dõi.