Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” một bài toán thực tế rất thú vị về năng suất làm việc của các vòi nước. Đây là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi, đòi hỏi chúng ta phải có tư duy logic và khả năng lập hệ phương trình.

Đề bài: Bài 3. Mở cùng một lúc một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước tháo nước ra khỏi bể thì trong 5 giờ lượng nước trong bể là \(2/7\) bể. Nếu mở vòi nước chảy vào trong 3 giờ và mở vòi tháo trong 2 giờ thì lượng nước trong bể là \(11/35\) bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì vòi thứ nhất đầy bể trong bao lâu và vòi thứ hai tháo hết nước trong bao lâu?

Chúng ta cùng bắt đầu giải bài toán này nhé!

Phân tích đề bài và Đặt ẩn số:

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm thời gian mỗi vòi chảy một mình để hoàn thành công việc (vòi 1 làm đầy bể, vòi 2 làm rỗng bể). Đây là dạng bài toán năng suất, nên chúng ta sẽ đặt ẩn cho năng suất của mỗi vòi.

Gọi \(x\) là lượng nước vòi thứ nhất (vòi chảy vào) chảy được trong một giờ. Đơn vị của \(x\) sẽ là “phần bể/giờ”.

Gọi \(y\) là lượng nước vòi thứ hai (vòi tháo ra) tháo được trong một giờ. Đơn vị của \(y\) cũng là “phần bể/giờ”.

Điều kiện: \(x > 0\) và \(y > 0\). Vì khi mở cả hai vòi nước trong bể vẫn tăng lên (\(2/7\) bể, \(11/35\) bể là các giá trị dương), nên năng suất của vòi chảy vào phải lớn hơn năng suất của vòi tháo ra, tức là \(x > y\).

Lập hệ phương trình:

Dựa vào các thông tin đề bài cung cấp, chúng ta sẽ lập các phương trình:

1. Dựa vào trường hợp thứ nhất: “Mở cùng một lúc một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước tháo nước ra khỏi bể thì trong 5 giờ lượng nước trong bể là \(2/7\) bể.”

Trong 1 giờ:

• Vòi chảy vào được \(x\) phần bể.
• Vòi tháo ra được \(y\) phần bể.
• Khi mở cả hai vòi, lượng nước thực tế tăng thêm trong 1 giờ là \(x – y\) phần bể.

Trong 5 giờ, lượng nước trong bể là \(5 \times (x – y)\) phần bể.

Theo đề bài, ta có phương trình thứ nhất:

\(5(x – y) = \frac{2}{7}\)

Hay \(5x – 5y = \frac{2}{7}\) (Phương trình 1)

2. Dựa vào trường hợp thứ hai: “Nếu mở vòi nước chảy vào trong 3 giờ và mở vòi tháo trong 2 giờ thì lượng nước trong bể là \(11/35\) bể.”

• Vòi chảy vào trong 3 giờ được: \(3x\) phần bể.
• Vòi tháo ra trong 2 giờ được: \(2y\) phần bể.

Lượng nước trong bể sau 3 giờ vòi 1 chảy và 2 giờ vòi 2 tháo là \(3x – 2y\) phần bể.

Theo đề bài, ta có phương trình thứ hai:

\(3x – 2y = \frac{11}{35}\) (Phương trình 2)

Từ hai phương trình trên, chúng ta có hệ phương trình sau:

\(
\begin{cases}
5x – 5y = \frac{2}{7} \quad (1) \\
3x – 2y = \frac{11}{35} \quad (2)
\end{cases}
\)

Giải hệ phương trình:

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải hệ phương trình này. Thầy sẽ hướng dẫn các em giải bằng phương pháp cộng đại số (khử một ẩn).

Để khử ẩn \(y\), ta sẽ nhân phương trình (1) với 2 và nhân phương trình (2) với 5:

Nhân (1) với 2: \(2 \times (5x – 5y) = 2 \times \frac{2}{7} \Rightarrow 10x – 10y = \frac{4}{7}\) (Phương trình 1′)

Nhân (2) với 5: \(5 \times (3x – 2y) = 5 \times \frac{11}{35} \Rightarrow 15x – 10y = \frac{55}{35} = \frac{11}{7}\) (Phương trình 2′)

Bây giờ, trừ phương trình (1′) cho phương trình (2′) (hoặc ngược lại):

\((15x – 10y) – (10x – 10y) = \frac{11}{7} – \frac{4}{7}\)

\(15x – 10y – 10x + 10y = \frac{7}{7}\)

\(5x = 1\)

\(x = \frac{1}{5}\)

Vậy, năng suất của vòi thứ nhất là \(1/5\) phần bể/giờ.

Tiếp theo, chúng ta thay giá trị của \(x = 1/5\) vào phương trình (1) để tìm \(y\):

\(5 \times \frac{1}{5} – 5y = \frac{2}{7}\)

\(1 – 5y = \frac{2}{7}\)

\(5y = 1 – \frac{2}{7}\)

\(5y = \frac{7}{7} – \frac{2}{7}\)

\(5y = \frac{5}{7}\)

\(y = \frac{5}{7} \div 5\)

\(y = \frac{5}{7} \times \frac{1}{5}\)

\(y = \frac{1}{7}\)

Vậy, năng suất của vòi thứ hai là \(1/7\) phần bể/giờ.

Trả lời câu hỏi:

Chúng ta đã tìm được \(x = 1/5\) và \(y = 1/7\). Bây giờ, hãy trả lời câu hỏi của đề bài:

1. Vòi thứ nhất (vòi chảy vào) chảy một mình đầy bể trong bao lâu?

Nếu trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được \(1/5\) bể, thì để chảy đầy cả bể (tức là 1 bể), vòi đó cần thời gian là:

Thời gian = \(1 \div x = 1 \div \frac{1}{5} = 1 \times 5 = 5\) giờ.

2. Vòi thứ hai (vòi tháo ra) tháo hết nước trong bể trong bao lâu?

Nếu trong 1 giờ vòi thứ hai tháo được \(1/7\) bể, thì để tháo hết cả bể (tức là 1 bể), vòi đó cần thời gian là:

Thời gian = \(1 \div y = 1 \div \frac{1}{7} = 1 \times 7 = 7\) giờ.

Kết luận:

Nếu chảy một mình, vòi thứ nhất sẽ đầy bể trong 5 giờ.

Nếu tháo một mình, vòi thứ hai sẽ tháo hết nước trong bể trong 7 giờ.

Vậy là chúng ta đã hoàn thành bài toán này một cách chi tiết. Các em nhớ rằng, điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài, đặt ẩn đúng và lập hệ phương trình chính xác. Từ đó, việc giải hệ phương trình sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

Chúc các em học tốt!