Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về đa thức rất thú vị nhé. Cô tin là với những kiến thức chúng ta đã học, các em sẽ dễ dàng hoàn thành bài tập này.

Đề bài cho đa thức \(F(x) = x^3 + x^2 – 2\).

***

a) Tính F(-1); F(2); F(1)

Trước hết, chúng ta cần nhớ rằng để tính giá trị của một đa thức tại một điểm, chúng ta chỉ cần thay giá trị đó vào biến x trong đa thức.

Ta có đa thức: \(F(x) = x^3 + x^2 – 2\)

Tính F(-1):

Chúng ta thay \(x = -1\) vào đa thức \(F(x)\):

\(F(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 – 2\)

\(F(-1) = -1 + 1 – 2\)

\(F(-1) = 0 – 2\)

\(F(-1) = -2\)

Tính F(2):

Chúng ta thay \(x = 2\) vào đa thức \(F(x)\):

\(F(2) = (2)^3 + (2)^2 – 2\)

\(F(2) = 8 + 4 – 2\)

\(F(2) = 12 – 2\)

\(F(2) = 10\)

Tính F(1):

Chúng ta thay \(x = 1\) vào đa thức \(F(x)\):

\(F(1) = (1)^3 + (1)^2 – 2\)

\(F(1) = 1 + 1 – 2\)

\(F(1) = 2 – 2\)

\(F(1) = 0\)

Kết quả của câu a):

• \(F(-1) = -2\)
• \(F(2) = 10\)
• \(F(1) = 0\)

***

b) Xác định các số dư trong phép chia đa thức F(x) cho x+1; x-2; x-1, sau đó so sánh các số dư đó lần lượt với F(-1); F(2); F(1).

Để xác định số dư trong phép chia đa thức \(F(x)\) cho các nhị thức bậc nhất, chúng ta sẽ áp dụng Định lý Bezout (còn gọi là Định lý số dư) mà chúng ta đã học.

Định lý số dư phát biểu rằng: Số dư trong phép chia đa thức \(F(x)\) cho nhị thức \(x – a\) chính là giá trị \(F(a)\).

1. Chia đa thức F(x) cho x+1:

Nhị thức là \(x+1\), chúng ta có thể viết lại là \(x – (-1)\). Vậy, trong trường hợp này, giá trị \(a\) là \(-1\).

Theo Định lý số dư, số dư trong phép chia \(F(x)\) cho \(x+1\) chính là \(F(-1)\).

Từ câu a), chúng ta đã tính được \(F(-1) = -2\).

Vậy, số dư khi chia \(F(x)\) cho \(x+1\) là \(-2\).

So sánh: Ta thấy số dư này bằng đúng với giá trị \(F(-1)\) mà chúng ta đã tính được ở câu a).

2. Chia đa thức F(x) cho x-2:

Nhị thức là \(x-2\). Vậy, trong trường hợp này, giá trị \(a\) là \(2\).

Theo Định lý số dư, số dư trong phép chia \(F(x)\) cho \(x-2\) chính là \(F(2)\).

Từ câu a), chúng ta đã tính được \(F(2) = 10\).

Vậy, số dư khi chia \(F(x)\) cho \(x-2\) là \(10\).

So sánh: Ta thấy số dư này bằng đúng với giá trị \(F(2)\) mà chúng ta đã tính được ở câu a).

3. Chia đa thức F(x) cho x-1:

Nhị thức là \(x-1\). Vậy, trong trường hợp này, giá trị \(a\) là \(1\).

Theo Định lý số dư, số dư trong phép chia \(F(x)\) cho \(x-1\) chính là \(F(1)\).

Từ câu a), chúng ta đã tính được \(F(1) = 0\).

Vậy, số dư khi chia \(F(x)\) cho \(x-1\) là \(0\).

So sánh: Ta thấy số dư này bằng đúng với giá trị \(F(1)\) mà chúng ta đã tính được ở câu a).

Các em lưu ý nhé, khi số dư bằng 0, điều này có nghĩa là \(x-1\) là một nhân tử của đa thức \(F(x)\), hay \(x=1\) là một nghiệm của đa thức \(F(x)\) đấy!

***

Tuyệt vời! Qua bài tập này, các em đã cùng cô ôn lại cách tính giá trị của đa thức và quan trọng hơn là ứng dụng Định lý số dư một cách hiệu quả. Đây là một định lý rất hữu ích giúp chúng ta tìm số dư mà không cần thực hiện phép chia dài dòng. Các em hãy nhớ và vận dụng thường xuyên nhé!

Chúc các em học tốt!