Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất hay về năng suất công việc, cụ thể là về các vòi nước chảy vào bể. Đây là dạng toán thường gặp và đòi hỏi chúng ta phải tư duy logic một chút. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Đề bài: Cả ba vòi nước cùng chảy vào một cái bể cạn.

– Nếu hai vòi 1 và vòi 2 cùng chảy thì bể đầy sau 60 phút.

– Nếu hai vòi 2 và vòi 3 cùng chảy thì bể đầy sau 75 phút.

– Nếu hai vòi 3 và vòi 1 cùng chảy thì bể đầy sau 50 phút.

a. Nếu cả ba vòi cùng chảy thì bể đầy sau bao lâu?

b. Nếu riêng mỗi vòi chảy một mình thì bể đầy sau bao lâu?

Phân tích và phương pháp giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng khái niệm “năng suất” hay “phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian”. Ở đây, đơn vị thời gian là phút, và công việc là làm đầy bể.

Chúng ta gọi:

• Năng suất của vòi 1 là \(V_1\) (phần bể chảy được trong 1 phút).
• Năng suất của vòi 2 là \(V_2\) (phần bể chảy được trong 1 phút).
• Năng suất của vòi 3 là \(V_3\) (phần bể chảy được trong 1 phút).

Nếu một vòi (hoặc nhóm vòi) chảy đầy bể trong \(T\) phút, thì trong 1 phút, vòi đó (hoặc nhóm vòi đó) chảy được \(\frac{1}{T}\) phần của bể. Áp dụng điều này vào các dữ kiện của bài toán, ta có các phương trình sau:

1. Nếu hai vòi 1 và vòi 2 cùng chảy thì bể đầy sau 60 phút:

\(V_1 + V_2 = \frac{1}{60}\) (phần bể/phút) (Phương trình 1)

2. Nếu hai vòi 2 và vòi 3 cùng chảy thì bể đầy sau 75 phút:

\(V_2 + V_3 = \frac{1}{75}\) (phần bể/phút) (Phương trình 2)

3. Nếu hai vòi 3 và vòi 1 cùng chảy thì bể đầy sau 50 phút:

\(V_3 + V_1 = \frac{1}{50}\) (phần bể/phút) (Phương trình 3)

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

Giải quyết câu a: Nếu cả ba vòi cùng chảy thì bể đầy sau bao lâu?

Để tìm năng suất tổng cộng của cả ba vòi (\(V_1 + V_2 + V_3\)), chúng ta có một mẹo nhỏ: hãy cộng tất cả ba phương trình (1), (2), và (3) lại với nhau.

Cộng (1) + (2) + (3), ta được:

\((V_1 + V_2) + (V_2 + V_3) + (V_3 + V_1) = \frac{1}{60} + \frac{1}{75} + \frac{1}{50}\)

Gộp các năng suất giống nhau ở vế trái:

\(2V_1 + 2V_2 + 2V_3 = \frac{1}{60} + \frac{1}{75} + \frac{1}{50}\)

\(2(V_1 + V_2 + V_3) = \frac{1}{60} + \frac{1}{75} + \frac{1}{50}\)

Bây giờ, chúng ta cần tìm một mẫu số chung nhỏ nhất cho 60, 75 và 50.

60 = \(2^2 \times 3 \times 5\)

75 = \(3 \times 5^2\)

50 = \(2 \times 5^2\)

Mẫu số chung nhỏ nhất (LCM) là \(2^2 \times 3 \times 5^2 = 4 \times 3 \times 25 = 300\).

Quy đồng mẫu số cho vế phải:

\(\frac{1}{60} = \frac{1 \times 5}{60 \times 5} = \frac{5}{300}\)

\(\frac{1}{75} = \frac{1 \times 4}{75 \times 4} = \frac{4}{300}\)

\(\frac{1}{50} = \frac{1 \times 6}{50 \times 6} = \frac{6}{300}\)

Tiếp tục phép cộng:

\(2(V_1 + V_2 + V_3) = \frac{5}{300} + \frac{4}{300} + \frac{6}{300}\)

\(2(V_1 + V_2 + V_3) = \frac{5 + 4 + 6}{300}\)

\(2(V_1 + V_2 + V_3) = \frac{15}{300}\)

Rút gọn phân số \(\frac{15}{300}\) bằng cách chia cả tử và mẫu cho 15:

\(\frac{15}{300} = \frac{1}{20}\)

Vậy ta có:

\(2(V_1 + V_2 + V_3) = \frac{1}{20}\)

Để tìm tổng năng suất của ba vòi, chúng ta chia cả hai vế cho 2:

\(V_1 + V_2 + V_3 = \frac{1}{20} \div 2\)

\(V_1 + V_2 + V_3 = \frac{1}{20 \times 2}\)

\(V_1 + V_2 + V_3 = \frac{1}{40}\) (phần bể/phút)

Điều này có nghĩa là, khi cả ba vòi cùng chảy, trong 1 phút chúng làm đầy được \(\frac{1}{40}\) của bể.

Để tìm thời gian bể đầy khi cả ba vòi cùng chảy, chúng ta lấy 1 chia cho tổng năng suất:

Thời gian = \(\frac{1}{V_1 + V_2 + V_3} = \frac{1}{\frac{1}{40}} = 40\) phút.

Trả lời câu a: Nếu cả ba vòi cùng chảy thì bể đầy sau 40 phút.

—

Giải quyết câu b: Nếu riêng mỗi vòi chảy một mình thì bể đầy sau bao lâu?

Chúng ta đã biết tổng năng suất của cả ba vòi là \(V_1 + V_2 + V_3 = \frac{1}{40}\). (Đây là kết quả quan trọng từ câu a, chúng ta gọi nó là Phương trình 4)

1. Tìm thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể:

Chúng ta có \(V_1 + V_2 + V_3 = \frac{1}{40}\) (Phương trình 4)

Và \(V_2 + V_3 = \frac{1}{75}\) (Phương trình 2)

Để tìm \(V_1\), ta lấy (Phương trình 4) trừ đi (Phương trình 2):

\(V_1 = (V_1 + V_2 + V_3) – (V_2 + V_3)\)

\(V_1 = \frac{1}{40} – \frac{1}{75}\)

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất cho 40 và 75.

40 = \(2^3 \times 5\)

75 = \(3 \times 5^2\)

LCM(40, 75) = \(2^3 \times 3 \times 5^2 = 8 \times 3 \times 25 = 600\).

Quy đồng mẫu số:

\(\frac{1}{40} = \frac{1 \times 15}{40 \times 15} = \frac{15}{600}\)

\(\frac{1}{75} = \frac{1 \times 8}{75 \times 8} = \frac{8}{600}\)

Vậy:

\(V_1 = \frac{15}{600} – \frac{8}{600} = \frac{15 – 8}{600} = \frac{7}{600}\) (phần bể/phút)

Thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là: \(T_1 = \frac{1}{V_1} = \frac{1}{\frac{7}{600}} = \frac{600}{7}\) phút.

2. Tìm thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể:

Chúng ta có \(V_1 + V_2 + V_3 = \frac{1}{40}\) (Phương trình 4)

Và \(V_1 + V_3 = \frac{1}{50}\) (Phương trình 3)

Để tìm \(V_2\), ta lấy (Phương trình 4) trừ đi (Phương trình 3):

\(V_2 = (V_1 + V_2 + V_3) – (V_1 + V_3)\)

\(V_2 = \frac{1}{40} – \frac{1}{50}\)

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất cho 40 và 50.

40 = \(2^3 \times 5\)

50 = \(2 \times 5^2\)

LCM(40, 50) = \(2^3 \times 5^2 = 8 \times 25 = 200\).

Quy đồng mẫu số:

\(\frac{1}{40} = \frac{1 \times 5}{40 \times 5} = \frac{5}{200}\)

\(\frac{1}{50} = \frac{1 \times 4}{50 \times 4} = \frac{4}{200}\)

Vậy:

\(V_2 = \frac{5}{200} – \frac{4}{200} = \frac{5 – 4}{200} = \frac{1}{200}\) (phần bể/phút)

Thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là: \(T_2 = \frac{1}{V_2} = \frac{1}{\frac{1}{200}} = 200\) phút.

3. Tìm thời gian vòi 3 chảy một mình đầy bể:

Chúng ta có \(V_1 + V_2 + V_3 = \frac{1}{40}\) (Phương trình 4)

Và \(V_1 + V_2 = \frac{1}{60}\) (Phương trình 1)

Để tìm \(V_3\), ta lấy (Phương trình 4) trừ đi (Phương trình 1):

\(V_3 = (V_1 + V_2 + V_3) – (V_1 + V_2)\)

\(V_3 = \frac{1}{40} – \frac{1}{60}\)

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất cho 40 và 60.

40 = \(2^3 \times 5\)

60 = \(2^2 \times 3 \times 5\)

LCM(40, 60) = \(2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120\).

Quy đồng mẫu số:

\(\frac{1}{40} = \frac{1 \times 3}{40 \times 3} = \frac{3}{120}\)

\(\frac{1}{60} = \frac{1 \times 2}{60 \times 2} = \frac{2}{120}\)

Vậy:

\(V_3 = \frac{3}{120} – \frac{2}{120} = \frac{3 – 2}{120} = \frac{1}{120}\) (phần bể/phút)

Thời gian vòi 3 chảy một mình đầy bể là: \(T_3 = \frac{1}{V_3} = \frac{1}{\frac{1}{120}} = 120\) phút.

Trả lời câu b:

– Nếu riêng vòi 1 chảy một mình thì bể đầy sau \(\frac{600}{7}\) phút (khoảng 85.71 phút).

– Nếu riêng vòi 2 chảy một mình thì bể đầy sau 200 phút.

– Nếu riêng vòi 3 chảy một mình thì bể đầy sau 120 phút.

Các em thấy không, bài toán này tuy nhìn có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách đặt ẩn và biến đổi các phương trình một cách hợp lý, thì mọi thứ sẽ trở nên rõ ràng. Hãy luyện tập thêm các bài toán dạng này để nắm vững kiến thức nhé!