Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải bài toán tìm nghiệm của đa thức \(B(x) = (x^2 + 3)(4x^2 – 25)\). Đây là một dạng bài rất quan trọng, giúp các em hiểu rõ hơn về tính chất của đa thức.

Bước 1: Hiểu rõ yêu cầu “Tìm nghiệm của đa thức”
Nghiệm của một đa thức là các giá trị của biến \(x\) làm cho giá trị của đa thức đó bằng 0. Vậy, để tìm nghiệm của đa thức \(B(x)\), chúng ta sẽ cho \(B(x) = 0\).

Ta có đa thức đã cho là: \(B(x) = (x^2 + 3)(4x^2 – 25)\)
Để tìm nghiệm, ta đặt: \(B(x) = 0\)
\((x^2 + 3)(4x^2 – 25) = 0\)

Bước 2: Áp dụng tính chất “Tích bằng 0”
Khi tích của hai hoặc nhiều thừa số bằng 0, thì ít nhất một trong các thừa số đó phải bằng 0. Tức là, nếu \(A \cdot B = 0\), thì \(A = 0\) hoặc \(B = 0\).

Trong trường hợp bài toán này, chúng ta có hai thừa số là \((x^2 + 3)\) và \((4x^2 – 25)\). Do đó, sẽ có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Thừa số thứ nhất bằng 0.

\(x^2 + 3 = 0\)
Chúng ta chuyển số 3 sang vế phải:

\(x^2 = -3\)

Các em hãy nhớ rằng, bình phương của một số thực bất kỳ (tức là \(x^2\)) thì luôn luôn là một số không âm (lớn hơn hoặc bằng 0). Một số không âm thì không thể bằng một số âm (\(-3\)).
Do đó, phương trình \(x^2 = -3\) không có nghiệm thực.

Trường hợp 2: Thừa số thứ hai bằng 0.

\(4x^2 – 25 = 0\)

Chúng ta có thể giải phương trình này bằng hai cách: chuyển vế và khai căn, hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ “hiệu hai bình phương”. Ở đây, thầy sẽ trình bày cả hai cách để các em tham khảo nhé.

Cách 2.1: Giải bằng cách chuyển vế và khai căn

\(4x^2 = 25\)
\(x^2 = \frac{25}{4}\)

Để tìm \(x\), chúng ta lấy căn bậc hai của \(\frac{25}{4}\). Lưu ý rằng có hai giá trị (một dương và một âm) có bình phương bằng \(\frac{25}{4}\).

\(x = \sqrt{\frac{25}{4}}\) hoặc \(x = -\sqrt{\frac{25}{4}}\)
\(x = \frac{5}{2}\) hoặc \(x = -\frac{5}{2}\)

Cách 2.2: Giải bằng cách sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

Ta nhận thấy \(4x^2\) có thể viết là \((2x)^2\) và \(25\) là \(5^2\). Vậy, đây là dạng \(a^2 – b^2\) với \(a = 2x\) và \(b = 5\).

\((2x)^2 – 5^2 = 0\)
Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\), ta được:

\((2x – 5)(2x + 5) = 0\)

Lại áp dụng tính chất “Tích bằng 0” một lần nữa, ta có hai khả năng nhỏ hơn:

Khả năng 2a: \(2x – 5 = 0\)
\(2x = 5\)
\(x = \frac{5}{2}\)

Khả năng 2b: \(2x + 5 = 0\)
\(2x = -5\)
\(x = -\frac{5}{2}\)

Cả hai cách đều cho ra cùng một kết quả, đúng không nào!

Bước 3: Kết luận
Từ hai trường hợp trên, chúng ta thấy rằng chỉ có Trường hợp 2 mang lại các nghiệm thực.
Vậy, đa thức \(B(x) = (x^2 + 3)(4x^2 – 25)\) có các nghiệm là \(x = \frac{5}{2}\) và \(x = -\frac{5}{2}\).

Thầy hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách tìm nghiệm của đa thức. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé!
Chúc các em học tốt!