Chào các em học sinh! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về đa thức khá thú vị. Bài toán này sẽ giúp các em ôn lại cách thu gọn đa thức, tìm bậc của đa thức và giải các phương trình liên quan.

Đề bài: Cho đa thức \( P = 8x²y³-2xy²+2xy-5x²y³+xy²-3x³y³-6xy \)

a, Tìm bậc của đa thức P
b, Với giá trị nào của x thì giá trị của P luôn = 0 dù y lấy bất cứ giá trị nào
c, Với giá trị nào của y thì giá trị của P luôn = 0 dù x lấy bất cứ giá trị nào

Chúng ta hãy cùng bắt đầu nhé!

Bước 1: Thu gọn đa thức P
Trước khi làm bất kỳ yêu cầu nào của bài toán, việc đầu tiên và quan trọng nhất là chúng ta phải thu gọn đa thức. Điều này giúp cho việc tính toán sau này trở nên dễ dàng và chính xác hơn.

Đa thức đã cho là: \( P = 8x²y³-2xy²+2xy-5x²y³+xy²-3x³y³-6xy \)
Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau:

\( P = (8x²y³ – 5x²y³) + (-2xy² + xy²) + (2xy – 6xy) – 3x³y³ \)

Thực hiện phép cộng/trừ các hạng tử đồng dạng:
\( 8x²y³ – 5x²y³ = 3x²y³ \)
\( -2xy² + xy² = -xy² \)
\( 2xy – 6xy = -4xy \)
Hạng tử \( -3x³y³ \) không có hạng tử đồng dạng.

Vậy, đa thức P sau khi thu gọn là:
\( P = 3x²y³ – xy² – 4xy – 3x³y³ \)

Để tiện cho việc xét bậc, thầy sẽ sắp xếp lại các hạng tử theo bậc giảm dần (hoặc chỉ cần giữ nguyên thứ tự này để tính bậc):
\( P = -3x³y³ + 3x²y³ – xy² – 4xy \)

—

a, Tìm bậc của đa thức P

Để tìm bậc của đa thức P, chúng ta cần tìm bậc của từng hạng tử trong đa thức đã thu gọn, sau đó chọn bậc cao nhất.

Các hạng tử của P và bậc của chúng là:

• Hạng tử \( -3x³y³ \): Bậc là \( 3 + 3 = 6 \)
• Hạng tử \( 3x²y³ \): Bậc là \( 2 + 3 = 5 \)
• Hạng tử \( -xy² \): Bậc là \( 1 + 2 = 3 \)
• Hạng tử \( -4xy \): Bậc là \( 1 + 1 = 2 \)

So sánh các bậc: \( 6, 5, 3, 2 \). Bậc cao nhất là 6.

Vậy, bậc của đa thức P là 6.

—

b, Với giá trị nào của x thì giá trị của P luôn = 0 dù y lấy bất cứ giá trị nào

Yêu cầu này có nghĩa là chúng ta cần tìm một giá trị \( x_0 \) sao cho khi thay \( x = x_0 \) vào đa thức P, thì P trở thành đa thức 0 đối với biến y. Tức là, biểu thức P phải bằng 0 với mọi giá trị của y.

Đa thức P đã thu gọn là: \( P = -3x³y³ + 3x²y³ – xy² – 4xy \)

Để P luôn bằng 0 với mọi giá trị của y, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử theo lũy thừa của y:
\( P = (-3x³ + 3x²)y³ + (-x)y² + (-4x)y \)

Một đa thức của y bằng 0 với mọi giá trị của y khi và chỉ khi tất cả các hệ số của các lũy thừa của y đều bằng 0.

Do đó, chúng ta cần giải hệ phương trình sau:

\( \left\{ \begin{array}{l} -3x³ + 3x² = 0 \quad (1) \\ -x = 0 \quad (2) \\ -4x = 0 \quad (3) \end{array} \right. \)

Giải từng phương trình:
Từ phương trình (2): \( -x = 0 \Rightarrow x = 0 \)
Từ phương trình (3): \( -4x = 0 \Rightarrow x = 0 \)

Kiểm tra với phương trình (1):
\( -3x³ + 3x² = 0 \)
\( 3x²(-x + 1) = 0 \)
Điều này xảy ra khi \( 3x² = 0 \) hoặc \( -x + 1 = 0 \)
Nếu \( 3x² = 0 \Rightarrow x = 0 \)
Nếu \( -x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)

Để P luôn bằng 0 với mọi y, giá trị x phải thỏa mãn TẤT CẢ các điều kiện trên.
Các nghiệm của phương trình (1) là \( x = 0 \) hoặc \( x = 1 \).
Nghiệm của phương trình (2) là \( x = 0 \).
Nghiệm của phương trình (3) là \( x = 0 \).

Giá trị x chung thỏa mãn cả ba phương trình là \( x = 0 \).

Vậy, với giá trị \( x = 0 \) thì giá trị của P luôn bằng 0 dù y lấy bất cứ giá trị nào.

—

c, Với giá trị nào của y thì giá trị của P luôn = 0 dù x lấy bất cứ giá trị nào

Tương tự như câu b, yêu cầu này có nghĩa là chúng ta cần tìm một giá trị \( y_0 \) sao cho khi thay \( y = y_0 \) vào đa thức P, thì P trở thành đa thức 0 đối với biến x. Tức là, biểu thức P phải bằng 0 với mọi giá trị của x.

Đa thức P đã thu gọn là: \( P = -3x³y³ + 3x²y³ – xy² – 4xy \)

Để P luôn bằng 0 với mọi giá trị của x, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử theo lũy thừa của x:
\( P = (-3y³)x³ + (3y³)x² + (-y² – 4y)x \)

Một đa thức của x bằng 0 với mọi giá trị của x khi và chỉ khi tất cả các hệ số của các lũy thừa của x đều bằng 0.

Do đó, chúng ta cần giải hệ phương trình sau:

\( \left\{ \begin{array}{l} -3y³ = 0 \quad (4) \\ 3y³ = 0 \quad (5) \\ -y² – 4y = 0 \quad (6) \end{array} \right. \)

Giải từng phương trình:
Từ phương trình (4): \( -3y³ = 0 \Rightarrow y³ = 0 \Rightarrow y = 0 \)
Từ phương trình (5): \( 3y³ = 0 \Rightarrow y³ = 0 \Rightarrow y = 0 \)

Kiểm tra với phương trình (6):
\( -y² – 4y = 0 \)
\( -y(y + 4) = 0 \)
Điều này xảy ra khi \( -y = 0 \) hoặc \( y + 4 = 0 \)
Nếu \( -y = 0 \Rightarrow y = 0 \)
Nếu \( y + 4 = 0 \Rightarrow y = -4 \)

Để P luôn bằng 0 với mọi x, giá trị y phải thỏa mãn TẤT CẢ các điều kiện trên.
Nghiệm của phương trình (4) là \( y = 0 \).
Nghiệm của phương trình (5) là \( y = 0 \).
Các nghiệm của phương trình (6) là \( y = 0 \) hoặc \( y = -4 \).

Giá trị y chung thỏa mãn cả ba phương trình là \( y = 0 \).

Vậy, với giá trị \( y = 0 \) thì giá trị của P luôn bằng 0 dù x lấy bất cứ giá trị nào.

—

Hy vọng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ cách làm. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại thầy nhé! Chúc các em học tốt!