Chào em, rất vui được hỗ trợ em giải các bài toán này! Đây là dạng toán điển hình trong chương trình Toán lớp 9, đòi hỏi chúng ta phải khéo léo trong việc đặt ẩn và lập hệ phương trình. Cô sẽ trình bày thật chi tiết để em dễ hiểu nhé!

—

Bài giải:

Bài 1:

Cho hình chữ nhật có chu vi 48 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 2 m và tăng chiều dài thêm 3 m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 64 mét vuông. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ban đầu.

Bước 1: Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là \(x\) (m).

Gọi chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là \(y\) (m).

Điều kiện: \(x > 0\), \(y > 0\). (Thực tế, để là “chiều dài” và “chiều rộng”, ta thường có \(y > x\)).

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng theo ẩn

1. Dựa vào chu vi hình chữ nhật ban đầu:

Chu vi của hình chữ nhật ban đầu là 48 m, ta có phương trình:

\(2(x + y) = 48\)

\(x + y = 24\) (Phương trình 1)

Từ đây, ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\): \(y = 24 – x\).

Vì \(y > 0\), nên \(24 – x > 0 \Rightarrow x < 24\).

Kết hợp với điều kiện \(y > x\), ta có \(24 – x > x \Rightarrow 24 > 2x \Rightarrow x < 12\).

Vậy điều kiện chặt chẽ hơn của \(x\) là \(0 < x < 12\).

2. Dựa vào diện tích hình chữ nhật ban đầu:

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là: \(S_{ban\_dau} = xy\) (\(m^2\)).

3. Khi thay đổi kích thước các cạnh:

Nếu tăng chiều rộng thêm 2 m, thì chiều rộng mới là: \(x + 2\) (m).

Nếu tăng chiều dài thêm 3 m, thì chiều dài mới là: \(y + 3\) (m).

4. Dựa vào diện tích hình chữ nhật sau khi thay đổi:

Diện tích hình chữ nhật mới là: \(S_{moi} = (x + 2)(y + 3)\) (\(m^2\)).

5. Dựa vào sự thay đổi diện tích:

Diện tích hình chữ nhật tăng thêm 64 \(m^2\), nghĩa là:

\(S_{moi} – S_{ban\_dau} = 64\) (Phương trình 2)

Bước 3: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình)

Thay các biểu thức đã tìm được vào Phương trình 2:

\((x + 2)(y + 3) – xy = 64\)

Triển khai biểu thức:

\(xy + 3x + 2y + 6 – xy = 64\)

Rút gọn:

\(3x + 2y + 6 = 64\)

\(3x + 2y = 58\) (Phương trình 2′ – Đây là phương trình thứ hai của hệ)

Ta có hệ phương trình:

\( \begin{cases} x + y = 24 & (1) \\ 3x + 2y = 58 & (2′) \end{cases} \)

Bước 4: Giải hệ phương trình

Từ phương trình (1), ta rút \(y\) theo \(x\): \(y = 24 – x\).

Thế \(y = 24 – x\) vào phương trình (2′):

\(3x + 2(24 – x) = 58\)

\(3x + 48 – 2x = 58\)

\(x + 48 = 58\)

\(x = 58 – 48\)

\(x = 10\)

Tìm \(y\):

\(y = 24 – x = 24 – 10 = 14\)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Ta tìm được \(x = 10\) (m) và \(y = 14\) (m).

Kiểm tra điều kiện: \(x = 10 > 0\), \(y = 14 > 0\). Điều kiện \(0 < x < 12\) (tức \(0 < 10 < 12\)) cũng được thỏa mãn.

Chiều dài \(14\)m lớn hơn chiều rộng \(10\)m là hợp lý.

Vậy, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là 10 m và chiều dài ban đầu là 14 m.

—

Bài 2:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 56 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 2 m giảm chiều dài đi 1 m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 18 \(m^2\). Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó.

Bước 1: Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn

Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là \(a\) (m).

Gọi chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là \(b\) (m).

Điều kiện: \(a > 0\), \(b > 0\). (Và thường là \(b > a\)).

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng theo ẩn

1. Dựa vào chu vi mảnh đất ban đầu:

Chu vi của mảnh đất ban đầu là 56 m, ta có phương trình:

\(2(a + b) = 56\)

\(a + b = 28\) (Phương trình 1′)

Từ đây, ta có thể biểu diễn \(b\) theo \(a\): \(b = 28 – a\).

Vì \(b > 0\), nên \(28 – a > 0 \Rightarrow a < 28\).

Kết hợp với điều kiện \(b > a\), ta có \(28 – a > a \Rightarrow 28 > 2a \Rightarrow a < 14\).

Vậy điều kiện chặt chẽ hơn của \(a\) là \(0 < a < 14\).

2. Dựa vào diện tích mảnh đất ban đầu:

Diện tích mảnh đất ban đầu là: \(S_{ban\_dau} = ab\) (\(m^2\)).

3. Khi thay đổi kích thước các cạnh:

Nếu tăng chiều rộng thêm 2 m, thì chiều rộng mới là: \(a + 2\) (m).

Nếu giảm chiều dài đi 1 m, thì chiều dài mới là: \(b – 1\) (m).

Lưu ý: Chiều dài mới phải dương, tức là \(b – 1 > 0 \Rightarrow b > 1\). Vì \(b = 28 – a\) và \(a < 14\), nên \(b > 28 – 14 = 14\). Vậy \(b > 1\) luôn thỏa mãn.

4. Dựa vào diện tích mảnh đất sau khi thay đổi:

Diện tích mảnh đất mới là: \(S_{moi} = (a + 2)(b – 1)\) (\(m^2\)).

5. Dựa vào sự thay đổi diện tích:

Diện tích mảnh đất tăng thêm 18 \(m^2\), nghĩa là:

\(S_{moi} – S_{ban\_dau} = 18\) (Phương trình 2′)

Bước 3: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình)

Thay các biểu thức đã tìm được vào Phương trình 2′:

\((a + 2)(b – 1) – ab = 18\)

Triển khai biểu thức:

\(ab – a + 2b – 2 – ab = 18\)

Rút gọn:

\(-a + 2b – 2 = 18\)

\(-a + 2b = 20\) (Phương trình 2” – Đây là phương trình thứ hai của hệ)

Ta có hệ phương trình:

\( \begin{cases} a + b = 28 & (1′) \\ -a + 2b = 20 & (2”) \end{cases} \)

Bước 4: Giải hệ phương trình

Cộng hai phương trình (1′) và (2”) theo vế (phương pháp cộng đại số):

\((a + b) + (-a + 2b) = 28 + 20\)

\(a + b – a + 2b = 48\)

\(3b = 48\)

\(b = \frac{48}{3}\)

\(b = 16\)

Tìm \(a\):

Thế \(b = 16\) vào phương trình (1′):

\(a + 16 = 28\)

\(a = 28 – 16\)

\(a = 12\)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Ta tìm được \(a = 12\) (m) và \(b = 16\) (m).

Kiểm tra điều kiện: \(a = 12 > 0\), \(b = 16 > 0\). Điều kiện \(0 < a < 14\) (tức \(0 < 12 < 14\)) cũng được thỏa mãn.

Chiều dài \(16\)m lớn hơn chiều rộng \(12\)m là hợp lý.

Vậy, chiều rộng ban đầu của mảnh đất là 12 m và chiều dài ban đầu là 16 m.

—

Hy vọng phần giải thích chi tiết này sẽ giúp em hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại cô nhé!