phân tích đa thức sau thành nhân tử a, 6x^2-11x+3 b, 3x^2+3x-27 c, 2x^2 -5xy 3y^…
Bài toán: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, \(6x^2-11x+3\)
b, \(3x^2+3x-27\)
c, \(2x^2 -5xy + 3y^2\)
—
Lời giải chi tiết:
a, Phân tích đa thức \(6x^2-11x+3\)
Đây là một đa thức bậc hai có dạng \(ax^2+bx+c\). Có nhiều phương pháp để phân tích đa thức này, trong đó phương pháp tách hạng tử giữa (hay còn gọi là phương pháp “ac”) là rất hiệu quả.
Bước 1: Xác định các hệ số \(a\), \(b\), \(c\).
Trong đa thức \(6x^2-11x+3\), ta có: \(a=6\), \(b=-11\), \(c=3\).
Bước 2: Tính tích \(ac\).
\(ac = 6 \times 3 = 18\).
Bước 3: Tìm hai số nguyên mà tích của chúng bằng \(ac\) (tức là 18) và tổng của chúng bằng \(b\) (tức là -11).
Chúng ta có thể liệt kê các cặp số nguyên có tích bằng 18:
- \((1, 18)\), tổng là 19
- \((-1, -18)\), tổng là -19
- \((2, 9)\), tổng là 11
- \((-2, -9)\), tổng là -11 (Đây chính là cặp số chúng ta cần!)
- \((3, 6)\), tổng là 9
- \((-3, -6)\), tổng là -9
Vậy hai số cần tìm là -2 và -9.
Bước 4: Tách hạng tử giữa \(bx\) (tức là \(-11x\)) thành tổng của hai hạng tử tương ứng với hai số vừa tìm được.
\(-11x = -2x – 9x\).
Thay vào đa thức ban đầu, ta được:
\(6x^2-11x+3 = 6x^2 – 2x – 9x + 3\)
Bước 5: Nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
Ta nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử sau:
\((6x^2 – 2x) – (9x – 3)\)
(Lưu ý: Khi nhóm hạng tử có dấu trừ ở giữa, các hạng tử trong dấu ngoặc sau phải đổi dấu.)
Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm:
\(2x(3x – 1) – 3(3x – 1)\)
Bước 6: Đặt nhân tử chung là biểu thức trong ngoặc.
Ta thấy \((3x – 1)\) là nhân tử chung. Đặt \((3x – 1)\) ra ngoài:
\((3x – 1)(2x – 3)\)
Vậy, đa thức \(6x^2-11x+3\) được phân tích thành nhân tử là \((3x – 1)(2x – 3)\).
b, Phân tích đa thức \(3x^2+3x-27\)
Khi phân tích đa thức thành nhân tử, việc đầu tiên chúng ta nên làm là tìm nhân tử chung (nếu có) của tất cả các hạng tử.
Bước 1: Tìm nhân tử chung của các hạng tử.
Các hạng tử là \(3x^2\), \(3x\), \(-27\). Cả ba hạng tử này đều chia hết cho 3.
Đặt 3 làm nhân tử chung:
\(3x^2+3x-27 = 3(x^2+x-9)\)
Bước 2: Phân tích đa thức còn lại trong ngoặc \((x^2+x-9)\) (nếu có thể).
Đây là một đa thức bậc hai dạng \(ax^2+bx+c\) với \(a=1\), \(b=1\), \(c=-9\).
Chúng ta sẽ thử phương pháp tách hạng tử giữa:
Tính tích \(ac = 1 \times (-9) = -9\).
Tìm hai số nguyên có tích bằng -9 và tổng bằng \(b=1\).
Các cặp số nguyên có tích bằng -9 là:
- \((1, -9)\), tổng là -8
- \((-1, 9)\), tổng là 8
- \((3, -3)\), tổng là 0
Ta thấy không có cặp số nguyên nào có tổng bằng 1.
Điều này có nghĩa là đa thức \(x^2+x-9\) không thể phân tích thành nhân tử với các hệ số nguyên.
Hoặc chúng ta có thể kiểm tra bằng Delta (\(\Delta\)): \(\Delta = b^2 – 4ac = 1^2 – 4(1)(-9) = 1 + 36 = 37\). Vì \(\Delta = 37\) không phải là số chính phương, nên đa thức \(x^2+x-9\) không có nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ, do đó không thể phân tích thành nhân tử với hệ số nguyên/hữu tỉ.
Vậy, đa thức \(3x^2+3x-27\) được phân tích thành nhân tử là \(3(x^2+x-9)\).
c, Phân tích đa thức \(2x^2 -5xy + 3y^2\)
Đây là một đa thức bậc hai hai biến, có dạng tương tự như \(ax^2+bx+c\), nhưng ở đây \(x\) và \(y\) cùng xuất hiện. Chúng ta có thể coi nó như một đa thức bậc hai của \(x\) (với \(y\) là hằng số) hoặc của \(y\) (với \(x\) là hằng số).
Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tách hạng tử giữa tương tự như câu a.
Bước 1: Xác định các “hệ số” tương ứng.
Nếu coi đây là một đa thức của \(x\), thì \(a=2\), \(b=-5y\), \(c=3y^2\).
Bước 2: Tính tích \(ac\).
\(ac = (2)(3y^2) = 6y^2\).
Bước 3: Tìm hai đơn thức có tích bằng \(6y^2\) và tổng bằng \(-5y\) (hệ số của \(x\)).
Các cặp đơn thức mà tích của chúng là \(6y^2\): \((y, 6y)\), \((2y, 3y)\), \((-y, -6y)\), \((-2y, -3y)\).
Trong các cặp này, cặp \((-2y, -3y)\) có tổng là \((-2y) + (-3y) = -5y\).
Vậy hai đơn thức cần tìm là \(-2y\) và \(-3y\). Khi ghép với \(x\), chúng ta sẽ có \(-2xy\) và \(-3xy\).
Bước 4: Tách hạng tử giữa \(-5xy\) thành \(-2xy – 3xy\).
\(2x^2 -5xy + 3y^2 = 2x^2 – 2xy – 3xy + 3y^2\)
Bước 5: Nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
\((2x^2 – 2xy) – (3xy – 3y^2)\)
(Lưu ý dấu trừ khi nhóm hạng tử)
Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm:
\(2x(x – y) – 3y(x – y)\)
Bước 6: Đặt nhân tử chung là biểu thức trong ngoặc.
Ta thấy \((x – y)\) là nhân tử chung. Đặt \((x – y)\) ra ngoài:
\((x – y)(2x – 3y)\)
Vậy, đa thức \(2x^2 -5xy + 3y^2\) được phân tích thành nhân tử là \((x – y)(2x – 3y)\).
Thầy/cô hy vọng qua bài giảng chi tiết này, các em đã nắm rõ hơn cách phân tích các loại đa thức thành nhân tử. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để thành thạo nhé!
\(a)\) \(6x^2 – 11x + 3\)
\(= 6x^2 – 9x – 2x + 3\)
\(= 3x(2x – 3) – (2x – 3)\)
\(= (2x – 3)(3x – 1)\)
\(b)\) \(3x^2 + 3x – 27\)
\(= 3(x^2 + x – 9)\)
\(= 3\left[\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 – \frac{37}{4}\right]\)
\(= 3\left(x + \frac{1 – \sqrt{37}}{2}\right)\left(x + \frac{1 + \sqrt{37}}{2}\right)\)
\(c)\) \(2x^2 – 5xy – 3y^2\)
\(= 2x^2 – 6xy + xy – 3y^2\)
\(= 2x(x – 3y) + y(x – 3y)\)
\(= (x – 3y)(2x + y)\)
\(\color{#006600}{k}\color{#008800}{i}\color{#00AA00}{l}\color{#00CC00}{l}\color{#00EE00}{u}\color{#00FF00}{a}\color{#33FF33}{r}\color{#55FF55}{2}\color{#22FF22}{0}\color{#00FF00}{5}\)
\(a, 6x^2-11x+3\)
\(=(6x^2-2x)-(9x-3)\)
\(=2x(3x-1)-3(3x-1)\)
\(=(3x-1)(2x-3)\)
\(b, 3x^2+3x-27\)
\(=3(x^2+x-9)\)
\(c, 2x^2-5xy-3y^2\)
\(=(2x^2-6xy)+(xy-3y^2)\)
\(=2x(x-3y)+y(x-3y)\)
\(=(x-3y)(2x+y)\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment