Phần 1: Số thập phân vô hạn tuần hoàn

1. Khái niệm:

Các em đã quen thuộc với số thập phân hữu hạn rồi đúng không? Ví dụ như \(0.5\), \(2.75\), \(1.234\). Đây là những số thập phân mà phần thập phân kết thúc. Tuy nhiên, trong toán học, chúng ta còn có một loại số thập phân đặc biệt khác, đó là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Một số thập phân được gọi là vô hạn tuần hoàn nếu phần thập phân của nó lặp đi lặp lại một cách vô hạn theo một chu kỳ nhất định.

Trong số thập phân vô hạn tuần hoàn, chúng ta có:

• Phần định trước: Là phần đứng ngay sau dấu phẩy, không lặp lại.
• Chu kỳ: Là dãy các chữ số lặp đi lặp lại vô hạn lần.

Ký hiệu: Để biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn, chúng ta dùng dấu ngoặc đơn \(()\) hoặc gạch chân phía trên chu kỳ để chỉ ra phần thập phân nào đang lặp lại.

2. Ví dụ:

• Ví dụ 1: Xét phép chia \(1\) cho \(3\). Khi thực hiện phép chia, ta được kết quả là \(0.3333…\). Ở đây, chữ số \(3\) lặp đi lặp lại vô hạn lần.

Vậy, ta viết \(1 \div 3 = 0.333…\) dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn là \(0.\overline{3}\) hoặc \(0.(3)\).

Trong ví dụ này, phần định trước là không có (hoặc có thể coi là 0), và chu kỳ là \(3\).

• Ví dụ 2: Xét phép chia \(2\) cho \(7\). Khi thực hiện phép chia, ta được kết quả là \(0.285714285714…\). Dãy chữ số \(285714\) lặp đi lặp lại vô hạn lần.

Vậy, ta viết \(2 \div 7 = 0.285714285714…\) dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn là \(0.\overline{285714}\) hoặc \(0.(285714)\).

Trong ví dụ này, phần định trước là không có, và chu kỳ là \(285714\).

• Ví dụ 3: Xét phép chia \(7\) cho \(6\). Khi thực hiện phép chia, ta được kết quả là \(1.16666…\). Ở đây, chữ số \(6\) lặp đi lặp lại vô hạn lần.

Vậy, ta viết \(7 \div 6 = 1.16666…\) dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn là \(1.1\overline{6}\) hoặc \(1.1(6)\).

Trong ví dụ này, phần định trước là \(1\), và chu kỳ là \(6\).

• Ví dụ 4: Xét phép chia \(10\) cho \(11\). Khi thực hiện phép chia, ta được kết quả là \(0.909090…\). Dãy chữ số \(90\) lặp đi lặp lại vô hạn lần.

Vậy, ta viết \(10 \div 11 = 0.909090…\) dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn là \(0.\overline{90}\) hoặc \(0.(90)\).

Trong ví dụ này, phần định trước là không có, và chu kỳ là \(90\).

Lưu ý: Không phải mọi phép chia đều cho ra số thập phân vô hạn tuần hoàn. Nếu kết quả phép chia có phần thập phân kết thúc, đó là số thập phân hữu hạn.

Phần 2: Số vô tỉ và Căn bậc hai số học

1. Khái niệm Số vô tỉ:

Chúng ta đã biết đến các số hữu tỉ, đó là những số có thể viết dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\) với \(a, b\) là các số nguyên và \(b \neq 0\). Số hữu tỉ khi viết dưới dạng số thập phân hoặc là số thập phân hữu hạn, hoặc là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Vậy, số vô tỉ là gì? Số vô tỉ là những số không phải là số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là:

• Số vô tỉ không thể biểu diễn dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\) với \(a, b\) là các số nguyên và \(b \neq 0\).
• Khi viết dưới dạng số thập phân, số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Nghĩa là phần thập phân của nó kéo dài mãi mãi mà không có một chu kỳ lặp lại nào cả.

2. Khái niệm Căn bậc hai số học:

Trước khi đi vào ví dụ về số vô tỉ, chúng ta cần hiểu rõ về căn bậc hai số học.

Cho số không âm \(a\). Căn bậc hai số học của \(a\), ký hiệu là \(\sqrt{a}\), là số không âm mà bình phương lên bằng \(a\).

Ví dụ:

• \(\sqrt{9} = 3\) vì \(3 \ge 0\) và \(3^2 = 9\).
• \(\sqrt{16} = 4\) vì \(4 \ge 0\) và \(4^2 = 16\).
• \(\sqrt{0} = 0\) vì \(0 \ge 0\) và \(0^2 = 0\).

Quan trọng: Với số dương \(a\), phương trình \(x^2 = a\) có hai nghiệm là \(x = \sqrt{a}\) và \(x = -\sqrt{a}\). Tuy nhiên, căn bậc hai số học chỉ lấy giá trị không âm.

3. Ví dụ về Số vô tỉ và Căn bậc hai số học:

• Ví dụ 1: \(\sqrt{2}\)

Chúng ta biết rằng \(1^2 = 1\) và \(2^2 = 4\). Vậy \(\sqrt{2}\) phải nằm giữa 1 và 2. Nếu ta thử tính giá trị của \(\sqrt{2}\) bằng máy tính, ta sẽ được một con số xấp xỉ như \(1.41421356…\). Con số này kéo dài mãi mãi và không hề có một chu kỳ lặp lại nào.

Do đó, \(\sqrt{2}\) là một số vô tỉ.

• Ví dụ 2: \(\sqrt{3}\)

Tương tự, \(\sqrt{3}\) cũng là một số vô tỉ. Giá trị xấp xỉ của nó là \(1.73205080…\), một dãy số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

• Ví dụ 3: \(\pi\) (số Pi)

Số \(\pi\) là một hằng số toán học biểu thị tỉ số giữa chu vi của một đường tròn và đường kính của nó. Giá trị xấp xỉ của \(\pi\) là \(3.1415926535…\). Đây là một ví dụ kinh điển về số vô tỉ, với phần thập phân kéo dài vô hạn mà không lặp lại.

• Ví dụ 4: \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{7}\), \(\sqrt{10}\)

Những số này, khi được tính bằng máy tính, đều cho ra các giá trị thập phân vô hạn không tuần hoàn. Do đó, chúng cũng là các số vô tỉ.

• Ví dụ về số không phải là số vô tỉ:

* \(\sqrt{4} = 2\). Số 2 là số hữu tỉ vì nó có thể viết là \(\frac{2}{1}\).
* \(\sqrt{9} = 3\). Số 3 là số hữu tỉ.
* \(\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\). Số \(\frac{1}{2}\) là số hữu tỉ.

Nói cách khác, nếu căn bậc hai số học của một số là một số nguyên hoặc một phân số, thì số đó là số hữu tỉ. Ngược lại, nếu căn bậc hai số học của một số không thể viết dưới dạng phân số và có biểu diễn thập phân vô hạn không tuần hoàn, thì nó là số vô tỉ.

Tóm lại:

Số thập phân vô hạn tuần hoàn có phần thập phân lặp lại theo chu kỳ.

Số vô tỉ là số không thể biểu diễn dưới dạng phân số và có biểu diễn thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Căn bậc hai số học của một số không âm \(a\), ký hiệu \(\sqrt{a}\), là số không âm mà bình phương lên bằng \(a\). Nhiều căn bậc hai số học của các số không phải là số chính phương là các số vô tỉ.

Các em có câu hỏi nào không? Hãy mạnh dạn đặt câu hỏi nhé!