Đề bài: Một tổ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên ba học sinh để tham gia đội văn nghệ nhà trường. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Số phần tử của không gian mẫu là \(C^3_{4}.\) \(C^3_{5}\)
b) Xác suất để chọn được 3 học sinh nữ là \(\frac{5}{42}\)
c) Xác suất để chọn được đúng 1 học sinh nam là \(\frac{10}{21}\)
d) Biết trong đội văn nghệ có nam học sinh tên Bình và nữ học sinh tên An. Xác suất để 3 học sinh được chọn luôn có mặt Bình và không có mặt An là \(\frac{1}{4}\)

—

Phân tích chung:
Tổng số học sinh trong tổ là: \(4\) (nam) + \(5\) (nữ) = \(9\) học sinh.
Chúng ta cần chọn ngẫu nhiên \(3\) học sinh từ \(9\) học sinh này. Đây là bài toán tổ hợp vì thứ tự chọn không quan trọng.

Giải chi tiết từng mệnh đề:

a) Số phần tử của không gian mẫu là \(C^3_{4}.\) \(C^3_{5}\)

Giải thích:

Không gian mẫu \(\Omega\) là tập hợp tất cả các cách chọn \(3\) học sinh từ tổng số \(9\) học sinh.

Số phần tử của không gian mẫu được tính bằng công thức tổ hợp \(C^k_n\), với \(n\) là tổng số phần tử và \(k\) là số phần tử được chọn.

Trong trường hợp này, \(n = 9\) và \(k = 3\). Vậy, số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega) = C^3_9\).

Ta tính \(C^3_9 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84\).

Mệnh đề đưa ra là \(C^3_{4}.\) \(C^3_{5}\). Ta tính giá trị này:

• \(C^3_4 = \frac{4!}{3!1!} = 4\) (Đây là số cách chọn 3 học sinh nam từ 4 học sinh nam).
• \(C^3_5 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\) (Đây là số cách chọn 3 học sinh nữ từ 5 học sinh nữ).

Vậy, \(C^3_{4}.\) \(C^3_{5} = 4 \times 10 = 40\).

Rõ ràng, \(84 \neq 40\). Hơn nữa, \(C^3_4 \cdot C^3_5\) có ý nghĩa là chọn 3 nam và 3 nữ, tức là chọn 6 học sinh, không phải 3 học sinh.

Kết luận: Mệnh đề a) là SAI.

b) Xác suất để chọn được 3 học sinh nữ là \(\frac{5}{42}\)

Giải thích:

Gọi A là biến cố “Chọn được 3 học sinh nữ”.

Số cách chọn 3 học sinh nữ từ 5 học sinh nữ là \(n(A) = C^3_5\).

Ta tính \(C^3_5 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\).

Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega) = 84\) (đã tính ở câu a).

Xác suất của biến cố A là \(P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{10}{84}\).

Rút gọn phân số: \(\frac{10}{84} = \frac{10 \div 2}{84 \div 2} = \frac{5}{42}\).

Kết luận: Mệnh đề b) là ĐÚNG.

c) Xác suất để chọn được đúng 1 học sinh nam là \(\frac{10}{21}\)

Giải thích:

Gọi B là biến cố “Chọn được đúng 1 học sinh nam”.

Nếu chọn được đúng 1 học sinh nam (từ 4 nam), thì 2 học sinh còn lại phải là nữ (từ 5 nữ) để tổng số học sinh được chọn là 3.

• Số cách chọn 1 học sinh nam từ 4 học sinh nam là \(C^1_4 = 4\).
• Số cách chọn 2 học sinh nữ từ 5 học sinh nữ là \(C^2_5 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\).

Số cách chọn để có đúng 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ là \(n(B) = C^1_4 \times C^2_5 = 4 \times 10 = 40\).

Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega) = 84\).

Xác suất của biến cố B là \(P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{40}{84}\).

Rút gọn phân số: \(\frac{40}{84} = \frac{40 \div 4}{84 \div 4} = \frac{10}{21}\).

Kết luận: Mệnh đề c) là ĐÚNG.

d) Biết trong đội văn nghệ có nam học sinh tên Bình và nữ học sinh tên An. Xác suất để 3 học sinh được chọn luôn có mặt Bình và không có mặt An là \(\frac{1}{4}\)

Giải thích:

Gọi D là biến cố “3 học sinh được chọn luôn có mặt Bình và không có mặt An”.

Chúng ta cần chọn 3 học sinh thỏa mãn hai điều kiện sau:

1. Phải có Bình (là 1 nam sinh).
2. Không có An (là 1 nữ sinh).

Vì Bình chắc chắn có mặt, chúng ta đã chọn được 1 học sinh. Cần chọn thêm \(3 – 1 = 2\) học sinh nữa.

Các học sinh còn lại để chọn là:

• Số học sinh nam còn lại: Tổng 4 nam, đã chọn Bình, vậy còn \(4 – 1 = 3\) học sinh nam.
• Số học sinh nữ còn lại: Tổng 5 nữ, không được chọn An, vậy còn \(5 – 1 = 4\) học sinh nữ.

Như vậy, chúng ta cần chọn 2 học sinh nữa từ nhóm \(3\) nam và \(4\) nữ còn lại (tức là từ \(3 + 4 = 7\) học sinh).

Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh này là \(n(D) = C^2_7\).

Ta tính \(C^2_7 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\).

Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega) = 84\).

Xác suất của biến cố D là \(P(D) = \frac{n(D)}{n(\Omega)} = \frac{21}{84}\).

Rút gọn phân số: \(\frac{21}{84} = \frac{21 \div 21}{84 \div 21} = \frac{1}{4}\).

Kết luận: Mệnh đề d) là ĐÚNG.

—

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải từng phần của bài toán này. Chúc các em học tốt môn Toán!