P=căn x-5/ căn x+1 a) tìm x để p nguyên.b)tìm x nguyên lớn nhất để p nguyên.c) t...

Question

P=căn x-5/ căn x+1 a) tìm x để p nguyên.b)tìm x nguyên lớn nhất để p nguyên.c) tìm x để p nguyên nhỏ nhất.d)tìm x để p nguyên dương.e)tìm x để p nguyên âm

Giáo viên Chuyên Môn · Accepted Answer

Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về biểu thức chứa căn bậc hai. Đây là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi, yêu cầu chúng ta phải nắm vững cách biến đổi biểu thức và các điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên.

Đề bài: Cho biểu thức $P = \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 1}$.

Tìm $x$ để $P$ nguyên.
    Tìm $x$ nguyên lớn nhất để $P$ nguyên.
    Tìm $x$ để $P$ nguyên nhỏ nhất.
    Tìm $x$ để $P$ nguyên dương.
    Tìm $x$ để $P$ nguyên âm.

Chúng ta cùng nhau phân tích và giải chi tiết từng phần nhé!

---

Lời giải:

1. Điều kiện xác định của biểu thức P:
Để biểu thức $P$ có nghĩa, ta cần:

Biểu thức dưới dấu căn không âm: $x \ge 0$.
    Mẫu số khác 0: $\sqrt{x} + 1 \ne 0$. Vì $\sqrt{x} \ge 0$ nên $\sqrt{x} + 1 \ge 1$, do đó $\sqrt{x} + 1$ luôn khác 0.

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức là $x \ge 0$.

2. Biến đổi biểu thức P:
Để tìm các giá trị nguyên của $P$, chúng ta nên biến đổi biểu thức $P$ về dạng $A + \frac{B}{\sqrt{x} + C}$ để dễ dàng lập luận.
$P = \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 1}$
$P = \frac{\sqrt{x} + 1 - 6}{\sqrt{x} + 1}$
$P = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{6}{\sqrt{x} + 1}$
$P = 1 - \frac{6}{\sqrt{x} + 1}$

3. Lập luận để P là số nguyên:
Để $P$ là một số nguyên thì $1 - \frac{6}{\sqrt{x} + 1}$ phải là một số nguyên.
Vì $1$ là số nguyên, nên $\frac{6}{\sqrt{x} + 1}$ phải là một số nguyên.
Điều này có nghĩa là $\sqrt{x} + 1$ phải là một ước của $6$.
Các ước của $6$ là: $\{-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6\}$.
Mặt khác, theo điều kiện xác định, $x \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ge 0$.
Do đó, $\sqrt{x} + 1 \ge 1$.
Vậy, $\sqrt{x} + 1$ chỉ có thể nhận các giá trị là các ước dương của $6$, tức là $\{1, 2, 3, 6\}$.

Bây giờ, chúng ta sẽ xét từng trường hợp cụ thể:

Trường hợp
        $\sqrt{x} + 1$
        $\sqrt{x}$
        $x$
        Giá trị của $P$
        Nhận xét

1
        $1$
        $0$
        $0^2 = 0$
        $P = 1 - \frac{6}{1} = 1 - 6 = -5$
        Thỏa mãn $x \ge 0$, $P$ nguyên âm

2
        $2$
        $1$
        $1^2 = 1$
        $P = 1 - \frac{6}{2} = 1 - 3 = -2$
        Thỏa mãn $x \ge 0$, $P$ nguyên âm

3
        $3$
        $2$
        $2^2 = 4$
        $P = 1 - \frac{6}{3} = 1 - 2 = -1$
        Thỏa mãn $x \ge 0$, $P$ nguyên âm

4
        $6$
        $5$
        $5^2 = 25$
        $P = 1 - \frac{6}{6} = 1 - 1 = 0$
        Thỏa mãn $x \ge 0$, $P$ nguyên

---

Bây giờ chúng ta sẽ giải từng yêu cầu của đề bài:

a) Tìm $x$ để $P$ nguyên.
Dựa vào bảng trên, các giá trị của $x$ để $P$ nguyên là các giá trị làm cho $\sqrt{x} + 1$ là ước của $6$ (và $\sqrt{x} + 1 \ge 1$).
Các giá trị đó là: $x = 0, x = 1, x = 4, x = 25$.
Trả lời: Để $P$ nguyên, $x \in \{0; 1; 4; 25\}$.

b) Tìm $x$ nguyên lớn nhất để $P$ nguyên.
Từ tập hợp các giá trị của $x$ tìm được ở câu a) là $\{0, 1, 4, 25\}$, giá trị $x$ nguyên lớn nhất là $25$.
Khi $x = 25$, $P = 0$.
Trả lời: $x = 25$ là giá trị nguyên lớn nhất để $P$ nguyên.

c) Tìm $x$ để $P$ nguyên nhỏ nhất.
Từ các giá trị của $P$ tìm được tương ứng với $x$ nguyên ở bảng trên: $\{-5, -2, -1, 0\}$.
Giá trị nguyên nhỏ nhất của $P$ là $-5$.
Giá trị này đạt được khi $\sqrt{x} + 1 = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$.
Trả lời: Để $P$ nguyên nhỏ nhất, $x = 0$ (khi đó $P = -5$).

d) Tìm $x$ để $P$ nguyên dương.
Một số nguyên dương là số nguyên lớn hơn $0$. Tức là $P > 0$.
Chúng ta có $P = 1 - \frac{6}{\sqrt{x} + 1}$.
Để $P > 0$, ta cần $1 - \frac{6}{\sqrt{x} + 1} > 0$.
$1 > \frac{6}{\sqrt{x} + 1}$
Vì $\sqrt{x} + 1$ luôn dương ($\ge 1$), ta có thể nhân cả hai vế với $\sqrt{x} + 1$ mà không đổi chiều bất đẳng thức:
$\sqrt{x} + 1 > 6$
$\sqrt{x} > 5$
$x > 25$
Khi $x > 25$, thì $\sqrt{x} + 1 > 6$. Điều này kéo theo $0 
Khi đó, \(P = 1 - (\text{một số dương nhỏ hơn 1})$, nên $0 
Vì \(0 
Trả lời: Không có giá trị \(x$ nào để $P$ là số nguyên dương.

e) Tìm $x$ để $P$ nguyên âm.
Một số nguyên âm là số nguyên nhỏ hơn $0$. Tức là $P 
Dựa vào các giá trị \(P$ nguyên đã tìm được ở bảng: $\{-5, -2, -1, 0\}$.
Các giá trị $P$ nguyên âm là $-5, -2, -1$.

Khi $P = -5$, thì $x = 0$.
    Khi $P = -2$, thì $x = 1$.
    Khi $P = -1$, thì $x = 4$.

Trả lời: Để $P$ nguyên âm, $x \in \{0; 1; 4\}$.

---

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách làm dạng bài tìm giá trị nguyên của biểu thức chứa căn. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức này nhé! Chúc các em học tốt!

hoangbachnguyen · Answer

Đáp án+Giải thích các bước giải: $P = (\sqrt{x} - 5)/(\sqrt{x} + 1)$ (đkxđ: $x >= 0$) $P = (\sqrt{x} + 1 - 6)/(\sqrt{x} + 1)$ $P = 1 - 6/(\sqrt{x} + 1)$ $a)$ Để $P \in ZZ -> 6/(\sqrt{x} + 1) \in ZZ$ $-> \sqrt{x} + 1 \in Ư(6) = {1 ; 2 ; 3 ; 6}$ (Do $\sqrt{x} + 1 >= 1 ∀ x >= 0$) $-> \sqrt{x} \in { 0 ; 1 ; 2 ; 5}$ Mà $\sqrt{x} >= 0 -> \sqrt{x} \in {0 ; 1 ; 2 ; 5}$ $-> x \in {0 ; 1 ; 4 ; 25}$ Kết hợp với đk $-> x \in {0 ; 1 ; 4 ; 25}$ Vậy ... $b)$ $P \in ZZ$ khi $x \in {0 ; 1 ; 4 ; 25}$ với $x \in ZZ$ Mà $x$ là lớn nhất $-> x = 25$ Vậy ... $c)$ Để $P_min$ thì $6/(\sqrt{x} + 1)$ đạt max Mà $\sqrt{x} + 1 >= 1 ∀ x >= 0$ $-> 6/(\sqrt{x} + 1) <= 6$ Dấu "$=$" xảy ra khi $x = 0$ (TM) Vậy ... $d)$ Để $P \in ZZ^+$ thì $1 - 6/(\sqrt{x} + 1) > 0$ $-> 1 > 6/(\sqrt{x} + 1)$ Mà $0 < 6/(\sqrt{x} + 1)$ $-> 0 < 6/(\sqrt{x} + 1) < 1$ Mà $6/(\sqrt{x} + 1) \in ZZ$ để $P \in ZZ$ $->$ Ko có $x$ thoả mãn $P \in ZZ^+$ $e)$ Để $P \in ZZ^-$ thì $1 - 6/(\sqrt{x} + 1) < 0$ $-> 1 < 6/(\sqrt{x} + 1)$ $-> \sqrt{x} + 1 < 6$ Mà $\sqrt{x} + 1 \in Ư(6)$ để $P \in ZZ$ $-> \sqrt{x} + 1 \in {1 ; 2 ; 3}$ (Do $\sqrt{x} + 1 >= 1 ∀ x >= 0$) $-> \sqrt{x} \in {0 ; 1 ; 2}$ $-> x \in {0 ; 1 ; 4}$ Vậy ...

Trường hợp	\(\sqrt{x} + 1\)	\(\sqrt{x}\)	\(x\)	Giá trị của \(P\)	Nhận xét
1	\(1\)	\(0\)	\(0^2 = 0\)	\(P = 1 – \frac{6}{1} = 1 – 6 = -5\)	Thỏa mãn \(x \ge 0\), \(P\) nguyên âm
2	\(2\)	\(1\)	\(1^2 = 1\)	\(P = 1 – \frac{6}{2} = 1 – 3 = -2\)	Thỏa mãn \(x \ge 0\), \(P\) nguyên âm
3	\(3\)	\(2\)	\(2^2 = 4\)	\(P = 1 – \frac{6}{3} = 1 – 2 = -1\)	Thỏa mãn \(x \ge 0\), \(P\) nguyên âm
4	\(6\)	\(5\)	\(5^2 = 25\)	\(P = 1 – \frac{6}{6} = 1 – 1 = 0\)	Thỏa mãn \(x \ge 0\), \(P\) nguyên

P=căn x-5/ căn x+1 a) tìm x để p nguyên.b)tìm x nguyên lớn nhất để p nguyên.c) t…

P=căn x-5/ căn x+1 a) tìm x để p nguyên.b)tìm x nguyên lớn nhất để p nguyên.c) t…

P=căn x-5/ căn x+1 a) tìm x để p nguyên.b)tìm x nguyên lớn nhất để p nguyên.c) t…

Về tác giả

về tác giả

Thiên Nam

Add comment Hủy

Giao Hàng Nhanh Chóng

Trả Lại Dễ Dàng Và Nhanh Chóng

Hỗ Trợ Khách Hàng 24/7

Thanh Toán An Toàn 100%

Vị trí