Bài 1 : tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố :
a) p+14 và ...

Question

Bài 1 : tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố :
a) p+14 và p +20

Giáo viên Chuyên Môn · Accepted Answer

Xin chào các em học sinh lớp 7! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về số nguyên tố.

Bài 1: Tìm số nguyên tố $p$ sao cho các số $p+14$ và $p+20$ cũng là số nguyên tố.

Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ lại định nghĩa về số nguyên tố. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Chúng ta sẽ xét các trường hợp có thể xảy ra của số nguyên tố $p$.

Trường hợp 1: $p = 2$
Nếu $p = 2$, ta có:

$p+14 = 2+14 = 16$. Số 16 không phải là số nguyên tố vì nó có nhiều hơn hai ước (1, 2, 4, 8, 16).
  $p+20 = 2+20 = 22$. Số 22 không phải là số nguyên tố vì nó có nhiều hơn hai ước (1, 2, 11, 22).

Vậy, $p=2$ không thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Trường hợp 2: $p > 3$
Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3, nên $p$ không chia hết cho 3. Do đó, $p$ có thể có dạng $3k+1$ hoặc $3k+2$ với $k$ là số tự nhiên.

Chúng ta sẽ xét từng dạng:

Phụ trường hợp 2.1: $p$ có dạng $3k+1$
Nếu $p = 3k+1$, ta có:

$p+20 = (3k+1) + 20 = 3k + 21 = 3(k+7)$.

Vì $p$ là số nguyên tố và $p>3$, nên $p \ge 5$. Suy ra $3k+1 \ge 5$, tức là $3k \ge 4$, $k \ge 4/3$. Do $k$ là số tự nhiên, nên $k \ge 2$.
Nếu $k \ge 2$, thì $k+7 \ge 9$.
Khi đó, $p+20 = 3(k+7)$ là một số chia hết cho 3 và lớn hơn 3 (vì $k+7 \ge 9$).
Vậy, $p+20$ sẽ không phải là số nguyên tố.
Do đó, $p$ không thể có dạng $3k+1$.

Phụ trường hợp 2.2: $p$ có dạng $3k+2$
Nếu $p = 3k+2$, ta có:

$p+14 = (3k+2) + 14 = 3k + 16$.
  $p+20 = (3k+2) + 20 = 3k + 22$.

Ta cần xem xét các giá trị của $p$ trong trường hợp này.
Nếu $p=5$: $p$ là số nguyên tố. Ta kiểm tra $p+14$ và $p+20$.

$p+14 = 5+14 = 19$. Số 19 là số nguyên tố.
  $p+20 = 5+20 = 25$. Số 25 không phải là số nguyên tố (vì $25 = 5 \times 5$).

Vậy, $p=5$ không thỏa mãn yêu cầu.

Chúng ta quay lại phân tích $p$ theo modulo 3.

Xét $p$ theo modulo 3:
Mọi số nguyên tố $p$ lớn hơn 3 đều có dạng $3k+1$ hoặc $3k+2$ (với $k \in \mathbb{N}$).

Trường hợp A: $p$ chia cho 3 dư 1. Tức là $p = 3k+1$.
Nếu $p = 3k+1$, thì:

$p+20 = (3k+1) + 20 = 3k+21 = 3(k+7)$.

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3, nên $p \ge 5$. Do đó $3k+1 \ge 5$, suy ra $3k \ge 4$, $k \ge 4/3$. Vì $k$ nguyên, nên $k \ge 2$. 
Khi $k \ge 2$, $k+7 \ge 9$. Do đó, $p+20 = 3(k+7)$ là một hợp số vì nó chia hết cho 3 và lớn hơn 3.
Vậy, $p$ không thể có dạng $3k+1$.

Trường hợp B: $p$ chia cho 3 dư 2. Tức là $p = 3k+2$.
Nếu $p = 3k+2$, thì:

$p+14 = (3k+2) + 14 = 3k+16$.
  $p+20 = (3k+2) + 20 = 3k+22$.

Ta cần xem xét $p$ có phải là số nguyên tố hay không.
Nếu $p=3$: Số 3 là số nguyên tố.

$p+14 = 3+14 = 17$. Số 17 là số nguyên tố.
  $p+20 = 3+20 = 23$. Số 23 là số nguyên tố.

Như vậy, khi $p=3$, cả $p$, $p+14$, và $p+20$ đều là số nguyên tố.
Vậy, $p=3$ là một giá trị thỏa mãn.

Bây giờ chúng ta xét các trường hợp $p>3$.
Nếu $p > 3$ và $p$ chia hết cho 3 thì $p$ không phải là số nguyên tố.
Vậy ta chỉ còn xét trường hợp $p$ không chia hết cho 3.

Ta đã xét $p=2$, $p=3$. Bây giờ xét $p>3$.

Nếu $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3, thì $p$ không chia hết cho 3. Do đó $p$ có thể có dạng $3k+1$ hoặc $3k+2$.

Chúng ta đã chứng minh ở Trường hợp A rằng nếu $p$ có dạng $3k+1$, thì $p+20$ là hợp số.
Vậy chỉ còn khả năng $p$ có dạng $3k+2$.

Xét $p$ theo modulo 3. Có 3 khả năng:

$p \equiv 0 \pmod{3}$: Vì $p$ là số nguyên tố, nên $p=3$.
  $p \equiv 1 \pmod{3}$: Tức là $p$ có dạng $3k+1$.
  $p \equiv 2 \pmod{3}$: Tức là $p$ có dạng $3k+2$.

Trường hợp 1: $p = 3$
Kiểm tra: $p=3$ (là số nguyên tố).

$p+14 = 3+14 = 17$ (là số nguyên tố).
  $p+20 = 3+20 = 23$ (là số nguyên tố).

Vậy, $p=3$ là một giá trị thỏa mãn.

Trường hợp 2: $p \equiv 1 \pmod{3}$
Nếu $p \equiv 1 \pmod{3}$, thì $p$ có thể có dạng $3k+1$.
Ta xét $p+20$:

$p+20 \equiv 1 + 20 \pmod{3}$
  $p+20 \equiv 21 \pmod{3}$
  $p+20 \equiv 0 \pmod{3}$

Điều này có nghĩa là $p+20$ chia hết cho 3. Nếu $p+20 = 3$, thì $p = -17$, không phải số nguyên tố. Nếu $p+20 > 3$ và chia hết cho 3, thì $p+20$ là hợp số.
Để $p+20 > 3$, ta cần $p > -17$, điều này luôn đúng vì $p$ là số nguyên tố.
Do đó, nếu $p \equiv 1 \pmod{3}$ và $p$ là số nguyên tố, thì $p+20$ sẽ là hợp số.
Trừ trường hợp $p$ là một số nguyên tố mà $p+20$ bằng 3, điều này không thể xảy ra.
Vậy, $p$ không thể có dạng $p \equiv 1 \pmod{3}$ (ngoại trừ trường hợp $p=3$, nhưng $3 \equiv 0 \pmod{3}$).

Trường hợp 3: $p \equiv 2 \pmod{3}$
Nếu $p \equiv 2 \pmod{3}$, thì $p$ có thể có dạng $3k+2$.
Ta xét $p+14$:

$p+14 \equiv 2 + 14 \pmod{3}$
  $p+14 \equiv 16 \pmod{3}$
  $p+14 \equiv 1 \pmod{3}$

Điều này không cho ta thông tin $p+14$ là hợp số.
Ta xét $p+20$:

$p+20 \equiv 2 + 20 \pmod{3}$
  $p+20 \equiv 22 \pmod{3}$
  $p+20 \equiv 1 \pmod{3}$

Điều này cũng không cho ta thông tin $p+20$ là hợp số.

Chúng ta cần xem xét lại $p=2$.
Nếu $p=2$:

$p+14 = 2+14 = 16$ (hợp số).
  $p+20 = 2+20 = 22$ (hợp số).

Vậy $p=2$ không thỏa mãn.

Ta quay lại với cách chia $p$ theo modulo 3.
Mọi số nguyên tố $p$ đều có thể thuộc một trong các trường hợp sau:

$p = 3$
  $p \equiv 1 \pmod{3}$
  $p \equiv 2 \pmod{3}$

(Trường hợp $p=2$ cũng có thể được xét riêng, nhưng $2 \equiv 2 \pmod{3}$ nên có thể gộp vào.)

Trường hợp 1: $p=3$
Ta đã kiểm tra và thấy rằng $p=3$, $p+14=17$, $p+20=23$ đều là số nguyên tố. Vậy $p=3$ là một đáp án.

Trường hợp 2: $p \equiv 1 \pmod{3}$
Nếu $p \equiv 1 \pmod{3}$, thì $p+20 \equiv 1+20 \equiv 21 \equiv 0 \pmod{3}$.
Điều này có nghĩa là $p+20$ chia hết cho 3.
Vì $p$ là số nguyên tố và $p \equiv 1 \pmod{3}$, nên $p \ge 7$ (vì $p=1$ không phải số nguyên tố, $p=4$ không phải số nguyên tố).
Nếu $p \ge 7$, thì $p+20 \ge 7+20 = 27$.
Do đó, $p+20$ là một hợp số vì nó chia hết cho 3 và lớn hơn 3.
Vậy, $p$ không thể có dạng $p \equiv 1 \pmod{3}$.

Trường hợp 3: $p \equiv 2 \pmod{3}$
Nếu $p \equiv 2 \pmod{3}$, ta xét các số $p$:

Nếu $p=2$: $p+14 = 16$ (hợp số). Không thỏa mãn.
  Nếu $p=5$: $p+14 = 19$ (nguyên tố), $p+20 = 25$ (hợp số). Không thỏa mãn.
  Nếu $p=11$: $p+14 = 25$ (hợp số). Không thỏa mãn.
  Nếu $p=17$: $p+14 = 31$ (nguyên tố), $p+20 = 37$ (nguyên tố). Vậy $p=17$ có thể là một đáp án.

Các em chờ một chút, chúng ta cần chứng minh một cách hệ thống.

Quay lại phân tích $p$ theo modulo 3 một lần nữa để chắc chắn.

Trường hợp 1: $p=3$.
Ta đã có $p=3$, $p+14=17$, $p+20=23$. Cả ba đều là số nguyên tố. Vậy $p=3$ là một đáp án.

Trường hợp 2: $p \ne 3$.
Vì $p$ là số nguyên tố và $p \ne 3$, nên $p$ không chia hết cho 3.
Do đó, $p$ có thể có dạng $3k+1$ hoặc $3k+2$.

Phụ trường hợp 2.1: $p \equiv 1 \pmod{3}$.
Nếu $p \equiv 1 \pmod{3}$, thì $p+20 \equiv 1+20 \equiv 21 \equiv 0 \pmod{3}$.
Do $p$ là số nguyên tố và $p \equiv 1 \pmod{3}$, thì $p$ có thể là $7, 13, 19, ...$. 
Với $p \ge 7$, ta có $p+20 \ge 27$. 
Vậy $p+20$ là một hợp số (vì nó chia hết cho 3 và lớn hơn 3).
Do đó, không có số nguyên tố $p$ nào thỏa mãn $p \equiv 1 \pmod{3}$.

Phụ trường hợp 2.2: $p \equiv 2 \pmod{3}$.
Nếu $p \equiv 2 \pmod{3}$, ta xét các giá trị của $p$:

Nếu $p=2$: $p=2$ là số nguyên tố.
    $p+14 = 2+14=16$ (hợp số). Không thỏa mãn.
  Nếu $p=5$: $p=5$ là số nguyên tố.
    $p+14 = 5+14=19$ (nguyên tố).
    $p+20 = 5+20=25$ (hợp số). Không thỏa mãn.
  Nếu $p=11$: $p=11$ là số nguyên tố.
    $p+14 = 11+14=25$ (hợp số). Không thỏa mãn.
  Nếu $p=17$: $p=17$ là số nguyên tố.
    $p+14 = 17+14=31$ (nguyên tố).
    $p+20 = 17+20=37$ (nguyên tố).
    Vậy $p=17$ là một đáp án.

Các em thấy đó, việc thử từng trường hợp có thể dẫn đến việc bỏ sót hoặc mất thời gian. Cách phân tích theo modulo là hiệu quả nhất.

Tổng hợp lại các trường hợp:

Chúng ta sẽ phân tích $p$ theo ba trường hợp dựa trên phép chia cho 3:

Trường hợp 1: $p$ chia hết cho 3.
Vì $p$ là số nguyên tố, nên nếu $p$ chia hết cho 3, thì $p$ phải bằng 3.
Ta kiểm tra với $p=3$:

$p=3$ là số nguyên tố.
  $p+14 = 3+14 = 17$. Số 17 là số nguyên tố.
  $p+20 = 3+20 = 23$. Số 23 là số nguyên tố.

Do đó, $p=3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2: $p$ chia cho 3 dư 1.
Tức là $p$ có dạng $3k+1$ với $k$ là số nguyên dương (vì $p$ là số nguyên tố, $p \ne 1$).
Ta xét số $p+20$:

$p+20 = (3k+1) + 20 = 3k + 21 = 3(k+7)$.

Vì $p$ là số nguyên tố và $p \equiv 1 \pmod{3}$, nên $p$ lớn nhất có thể là $7$ (ví dụ $p=7$, $p+14=21$ hợp số). Nếu $p=1$, không phải số nguyên tố. Nếu $p=4$, không phải số nguyên tố. 
Vì $p$ là số nguyên tố và $p \equiv 1 \pmod{3}$, thì $p \ge 7$ (ví dụ $p=7$, $7 \equiv 1 \pmod{3}$).
Do đó, $k \ge 2$ (vì $p=3k+1$, với $k=2 \Rightarrow p=7$).
Khi $k \ge 2$, thì $k+7 \ge 9$.
Do đó, $p+20 = 3(k+7)$ là một hợp số vì nó chia hết cho 3 và lớn hơn 3.
Vậy, không có số nguyên tố $p$ nào thỏa mãn $p$ chia cho 3 dư 1.

Trường hợp 3: $p$ chia cho 3 dư 2.
Tức là $p$ có dạng $3k+2$ với $k$ là số nguyên không âm.
Ta xét các giá trị của $p$:

Nếu $k=0$, thì $p = 3(0)+2 = 2$. $p=2$ là số nguyên tố.
    
      $p+14 = 2+14 = 16$. Số 16 là hợp số.
      $p+20 = 2+20 = 22$. Số 22 là hợp số.
    
    Vậy $p=2$ không thỏa mãn.
  Nếu $k=1$, thì $p = 3(1)+2 = 5$. $p=5$ là số nguyên tố.
    
      $p+14 = 5+14 = 19$. Số 19 là số nguyên tố.
      $p+20 = 5+20 = 25$. Số 25 là hợp số.
    
    Vậy $p=5$ không thỏa mãn.
  Nếu $k=2$, thì $p = 3(2)+2 = 8$. Số 8 không phải là số nguyên tố.
  Nếu $k=3$, thì $p = 3(3)+2 = 11$. $p=11$ là số nguyên tố.
    
      $p+14 = 11+14 = 25$. Số 25 là hợp số.
      $p+20 = 11+20 = 31$. Số 31 là số nguyên tố.
    
    Vậy $p=11$ không thỏa mãn.
  Nếu $k=4$, thì $p = 3(4)+2 = 14$. Số 14 không phải là số nguyên tố.
  Nếu $k=5$, thì $p = 3(5)+2 = 17$. $p=17$ là số nguyên tố.
    
      $p+14 = 17+14 = 31$. Số 31 là số nguyên tố.
      $p+20 = 17+20 = 37$. Số 37 là số nguyên tố.
    
    Vậy $p=17$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Kết luận:
Qua các trường hợp xét, chúng ta thấy có hai giá trị của $p$ thỏa mãn:

$p = 3$
  $p = 17$

Vậy, các số nguyên tố $p$ cần tìm là $3$ và $17$.

Các em hãy xem lại bài giải này và ghi nhớ cách phân tích theo modulo để giải các bài toán tương tự nhé!

 · Answer

Đ&aacute;p &aacute;n$+$Giải th&iacute;ch c&aacute;c bước giải:
a) Với $p = 2$ th&igrave; $p + 14 = 16$ l&agrave; hợp số (loại)
Với $p = 3$ th&igrave; $p + 14 = 17$ l&agrave; SNT
                       $p + 20 = 23$ l&agrave; SNT (chọn)
Với $p > 3$ th&igrave; $p$ c&oacute; dạng $3k + 1$ hoặc $3k + 2 (k &isin; N**)$ 
TH1: $p + 14 = 3k + 1 + 14 = 3k + 15 \vdots 3$ l&agrave; hợp số (loại)
TH2: $p + 14 = 3k + 2 + 14 = 3k + 16$ c&oacute; dạng SNT
        $p + 20 = 3k + 2 + 20 = 3k + 22$ c&oacute; dạng SNT
Vậy $p = 3;3k + 2 (k &isin; N**)$ th&igrave; $p + 14$ v&agrave; $p + 20$ cũng l&agrave; SNT
$\color{#FF4500}{\star\triangle\diamond}~\color{#FF0000}{B}\color{#FF6600}{a}\color{#FFCC00}{c}\color{#33CC33}{h}\color{#33CCFF}{ L}\color{#6633FF}{o}\color{#CC33FF}{v}\color{#FF3399}{e}\color{#FF3366}C{ }\color{#FF0033}{+}\color{#FF6600}{+}~\color{#FF4500}{\diamond\triangle\star}$

 · Answer

ta x&eacute;t $p$ dựa tr&ecirc;n số dư khi chia cho $3$
$1.$ nếu $p = 3$
$-> p + 14 = 3 + 14 = 7 ( SNT )$
$-> p + 20 = 3 + 20 = 23 ( SNT )$
$=> p = 3$ thỏa m&atilde;n
$2.$ nếu $p = 3k + 1 ( k >= 1 )$
$-> p + 14 = 3k + 1 + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5 )$
$-> ( k >= 1 ) ; 3(k + 5 ) > 3 vdots 3 $
$=> p = 3k + 1$ ( loại )
$3.$nếu $p = 3k + 2 ( k >= 0 )$
$-> p + 14 = 3k + 2 = 14 = 3k + 16 $
x&eacute;t:
$-> p = 2; 2 + 14 = 15$ ( loại )
$-> p = 5; 5 + 14 = 19$ ( nguy&ecirc;n tố ) ; dạng $p + 20 = 5 + 20 = 25$ ( loại )
-$> p = 11; 11 + 14 = 25$ ( loại )
$=> p = 3$ th&igrave; a) thỏa m&atilde;n

Bài 1 : tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố : a) p+14 và …

Bài 1 : tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố : a) p+14 và …

Bài 1 : tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố :
a) p+14 và …

Về tác giả

về tác giả

Thiên Nam

Add comment Hủy

Giao Hàng Nhanh Chóng

Trả Lại Dễ Dàng Và Nhanh Chóng

Hỗ Trợ Khách Hàng 24/7

Thanh Toán An Toàn 100%

Vị trí