Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong việc giải quyết bài toán thú vị này. Đây là một dạng toán chuyển động quen thuộc, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các công thức và kỹ năng giải hệ phương trình. Nào, chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài toán: Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12km rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30 phút. Nếu cũng quãng đường sông ấy, ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km thì hết 1 giờ 20 phút. Biết rằng vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước là không đổi, tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước.

Phân tích bài toán và Đặt ẩn:

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước. Đây là hai đại lượng mà chúng ta cần xác định, vì vậy, ta sẽ gọi chúng là các biến số.

Gọi vận tốc riêng của ca nô là \(v_c\) (km/h).

Gọi vận tốc riêng của dòng nước là \(v_n\) (km/h).

Để ca nô có thể đi ngược dòng, vận tốc riêng của ca nô phải lớn hơn vận tốc dòng nước, tức là \(v_c > v_n > 0\).

Khi ca nô chuyển động trên sông, vận tốc của nó sẽ thay đổi tùy theo hướng dòng chảy:

Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là: \(v_{xuôi} = v_c + v_n\) (km/h).

Vận tốc ca nô khi ngược dòng là: \(v_{ngược} = v_c – v_n\) (km/h).

Đổi đơn vị thời gian:

Đề bài cho thời gian dưới dạng giờ và phút, chúng ta cần đổi tất cả về đơn vị giờ để thuận tiện cho việc tính toán.

2 giờ 30 phút = \(2 + \frac{30}{60}\) giờ = \(2 + \frac{1}{2}\) giờ = \(2.5\) giờ.

1 giờ 20 phút = \(1 + \frac{20}{60}\) giờ = \(1 + \frac{1}{3}\) giờ = \(\frac{4}{3}\) giờ.

Lập hệ phương trình:

Chúng ta sẽ dựa vào công thức: Thời gian = Quãng đường / Vận tốc.

Trường hợp 1: Ca nô xuôi dòng 12km rồi ngược dòng 12km hết 2 giờ 30 phút.

Thời gian xuôi dòng 12km là: \(\frac{12}{v_c + v_n}\) (giờ).

Thời gian ngược dòng 12km là: \(\frac{12}{v_c – v_n}\) (giờ).

Tổng thời gian là 2.5 giờ, nên ta có phương trình thứ nhất:

\(\frac{12}{v_c + v_n} + \frac{12}{v_c – v_n} = 2.5\) (1)

Trường hợp 2: Ca nô xuôi dòng 4km rồi ngược dòng 8km thì hết 1 giờ 20 phút.

Thời gian xuôi dòng 4km là: \(\frac{4}{v_c + v_n}\) (giờ).

Thời gian ngược dòng 8km là: \(\frac{8}{v_c – v_n}\) (giờ).

Tổng thời gian là \(\frac{4}{3}\) giờ, nên ta có phương trình thứ hai:

\(\frac{4}{v_c + v_n} + \frac{8}{v_c – v_n} = \frac{4}{3}\) (2)

Chúng ta có hệ hai phương trình với hai ẩn số \(v_c\) và \(v_n\):

\(\begin{cases} \frac{12}{v_c + v_n} + \frac{12}{v_c – v_n} = 2.5 \\ \frac{4}{v_c + v_n} + \frac{8}{v_c – v_n} = \frac{4}{3} \end{cases}\)

Giải hệ phương trình:

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể đặt ẩn phụ để đơn giản hóa.

Đặt \(x = \frac{1}{v_c + v_n}\) và \(y = \frac{1}{v_c – v_n}\) (Điều kiện: \(x, y > 0\)).

Khi đó, hệ phương trình trở thành:

\(\begin{cases} 12x + 12y = 2.5 \quad (1′) \\ 4x + 8y = \frac{4}{3} \quad (2′) \end{cases}\)

Từ phương trình (2′), ta có thể chia cả hai vế cho 4 để đơn giản:

\(x + 2y = \frac{1}{3}\)

Suy ra: \(x = \frac{1}{3} – 2y\)

Thay biểu thức của \(x\) vào phương trình (1′):

\(12\left(\frac{1}{3} – 2y\right) + 12y = 2.5\)

\(4 – 24y + 12y = 2.5\)

\(4 – 12y = 2.5\)

\(12y = 4 – 2.5\)

\(12y = 1.5\)

\(y = \frac{1.5}{12} = \frac{3/2}{12} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\)

Bây giờ chúng ta tìm \(x\) bằng cách thay giá trị của \(y\) vào phương trình \(x = \frac{1}{3} – 2y\):

\(x = \frac{1}{3} – 2\left(\frac{1}{8}\right)\)

\(x = \frac{1}{3} – \frac{1}{4}\)

\(x = \frac{4}{12} – \frac{3}{12}\)

\(x = \frac{1}{12}\)

Chúng ta đã tìm được \(x\) và \(y\). Bây giờ chúng ta sẽ quay trở lại với \(v_c\) và \(v_n\).

Ta có: \(x = \frac{1}{v_c + v_n} = \frac{1}{12}\)

\(\Rightarrow v_c + v_n = 12\) (3)

Và: \(y = \frac{1}{v_c – v_n} = \frac{1}{8}\)

\(\Rightarrow v_c – v_n = 8\) (4)

Bây giờ chúng ta có một hệ phương trình tuyến tính rất đơn giản:

\(\begin{cases} v_c + v_n = 12 \\ v_c – v_n = 8 \end{cases}\)

Cộng hai phương trình (3) và (4) lại với nhau:

\((v_c + v_n) + (v_c – v_n) = 12 + 8\)

\(2v_c = 20\)

\(v_c = \frac{20}{2}\)

\(v_c = 10\)

Thay \(v_c = 10\) vào phương trình (3):

\(10 + v_n = 12\)

\(v_n = 12 – 10\)

\(v_n = 2\)

Kiểm tra điều kiện:

Chúng ta có \(v_c = 10\) km/h và \(v_n = 2\) km/h.

Kiểm tra điều kiện \(v_c > v_n > 0\): \(10 > 2 > 0\), điều kiện thỏa mãn.

Kết luận:

Vậy, vận tốc riêng của ca nô là 10 km/h và vận tốc riêng của dòng nước là 2 km/h.

Các em có thể tự kiểm tra lại các giá trị này vào hai trường hợp ban đầu để chắc chắn đáp án là đúng nhé. Cô tin rằng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này rồi!

Chúc các em học tốt!