Chào các em học sinh lớp 12 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán nhỏ khá thú vị về số học, đòi hỏi sự tư duy logic và kỹ năng giải hệ phương trình. Đây là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc các câu đố vui toán học, giúp rèn luyện khả năng suy luận của các em.

Đề bài:

Trong một quán ăn, có bốn người không quen biết nhau ngồi ăn chung một bàn. Sau khi hỏi tuổi của nhau, họ phát hiện ra rằng tổng số tuổi của 2 người trong số họ lần lượt là 45, 56, 60, 67, 71, 82. Bạn có thể tính được tuổi của từng người không?

Phân tích và Giải quyết bài toán:

Bước 1: Đặt biến và Liệt kê các tổng số tuổi.

Gọi tuổi của bốn người lần lượt là \(a, b, c, d\). Để thuận tiện cho việc sắp xếp và tính toán, chúng ta giả sử rằng tuổi của họ được sắp xếp theo thứ tự tăng dần: \(a < b < c < d\).

Khi đó, có tất cả \(C_4^2 = 6\) cặp tổng số tuổi có thể có. Các tổng này, khi được sắp xếp theo thứ tự tăng dần, sẽ tương ứng với các giá trị đã cho:

• \(a + b\) (tổng nhỏ nhất)
• \(a + c\)
• \(a + d\)
• \(b + c\)
• \(b + d\)
• \(c + d\) (tổng lớn nhất)

Các tổng số tuổi đã cho là: 45, 56, 60, 67, 71, 82.

Từ đây, chúng ta có thể gán các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất một cách chắc chắn:

\(a + b = 45\) (1)

\(c + d = 82\) (2)

Bước 2: Tính tổng số tuổi của cả bốn người.

Nếu chúng ta cộng tất cả sáu tổng số tuổi lại với nhau, mỗi tuổi \(a, b, c, d\) sẽ xuất hiện 3 lần:

\((a+b) + (a+c) + (a+d) + (b+c) + (b+d) + (c+d) = 3a + 3b + 3c + 3d = 3(a+b+c+d)\)

Tổng của tất cả các giá trị đã cho là:

\(45 + 56 + 60 + 67 + 71 + 82 = 381\)

Vậy, \(3(a+b+c+d) = 381\)

Suy ra, tổng số tuổi của cả bốn người là: \(a+b+c+d = \frac{381}{3} = 127\) (S)

Bước 3: Xác định các tổng số tuổi còn lại.

Chúng ta đã có \(a+b = 45\) và \(c+d = 82\).

Từ tổng \(S = a+b+c+d = 127\):

\((a+b) + (c+d) = 45 + 82 = 127\)

Bây giờ, chúng ta cần xác định hai tổng còn lại trong số 56, 60, 67, 71.

Với giả định \(a < b < c < d\):

• \(a+c\) phải là tổng nhỏ nhất tiếp theo sau \(a+b\). Vậy, \(a+c = 56\) (3)
• \(b+d\) phải là tổng lớn nhất tiếp theo trước \(c+d\). Vậy, \(b+d = 71\) (4)

Hai tổng còn lại là \(a+d\) và \(b+c\), chúng phải tương ứng với 60 và 67.

Kiểm tra tính nhất quán: \((a+c) + (b+d) = 56 + 71 = 127\). Điều này đúng với tổng \(S\).

Và \((a+d) + (b+c) = 60 + 67 = 127\). Điều này cũng đúng với tổng \(S\).

Bước 4: Giải hệ phương trình để tìm tuổi từng người.

Chúng ta có hệ 4 phương trình cơ bản sau:

1) \(a+b = 45\)

2) \(c+d = 82\)

3) \(a+c = 56\)

4) \(b+d = 71\)

Trừ phương trình (1) cho phương trình (3):

\((a+c) – (a+b) = 56 – 45\)

\(c – b = 11\) (5)

Trừ phương trình (4) cho phương trình (2) (hoặc (2) cho (4)):

\((c+d) – (b+d) = 82 – 71\)

\(c – b = 11\) (5′)

Kết quả nhất quán, vậy \(c = b + 11\).

Bây giờ, ta sẽ biểu diễn các tuổi \(b, c, d\) theo \(a\):

• Từ (1): \(b = 45-a\)
• Từ (3): \(c = 56-a\)
• Thế \(c\) vào (2): \((56-a) + d = 82 \implies d = 82 – 56 + a \implies d = 26 + a\)

Vậy, chúng ta có tuổi của bốn người theo \(a\):

\(A = a\)

\(B = 45-a\)

\(C = 56-a\)

\(D = 26+a\)

Bây giờ, chúng ta dùng hai tổng còn lại mà chưa được gán cụ thể (60 và 67): \(a+d\) và \(b+c\).

• Tính \(a+d = a + (26+a) = 2a+26\)
• Tính \(b+c = (45-a) + (56-a) = 101-2a\)

Hai giá trị này phải là 60 và 67.

Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: \(a+d = 60\) và \(b+c = 67\)

Giải phương trình thứ nhất:

\(2a+26 = 60\)

\(2a = 34\)

\(a = 17\)

Kiểm tra với tổng còn lại:

\(101-2a = 101-2(17) = 101-34 = 67\). (Giá trị này khớp với 67)

Nếu \(a=17\), thì tuổi của các người là:

• \(a = 17\)
• \(b = 45-17 = 28\)
• \(c = 56-17 = 39\)
• \(d = 26+17 = 43\)

Vậy tuổi của bốn người là: 17, 28, 39, 43.

Kiểm tra lại thứ tự: \(17 < 28 < 39 < 43\). (Đúng)

Trường hợp 2: \(a+d = 67\) và \(b+c = 60\)

Giải phương trình thứ nhất:

\(2a+26 = 67\)

\(2a = 41\)

\(a = 20.5\)

Kiểm tra với tổng còn lại:

\(101-2a = 101-2(20.5) = 101-41 = 60\). (Giá trị này khớp với 60)

Nếu \(a=20.5\), thì tuổi của các người là:

• \(a = 20.5\)
• \(b = 45-20.5 = 24.5\)
• \(c = 56-20.5 = 35.5\)
• \(d = 26+20.5 = 46.5\)

Vậy tuổi của bốn người là: 20.5, 24.5, 35.5, 46.5.

Kiểm tra lại thứ tự: \(20.5 < 24.5 < 35.5 < 46.5\). (Đúng)

Bước 5: Kết luận và Thảo luận.

Cả hai trường hợp trên đều cho ra các bộ tuổi thỏa mãn tất cả các điều kiện về tổng đã cho. Tuy nhiên, trong các bài toán thực tế liên quan đến “tuổi” của người, chúng ta thường ngầm hiểu rằng tuổi là một số nguyên dương (số năm đã sống tròn).

Nếu chúng ta chấp nhận rằng tuổi phải là số nguyên, thì Trường hợp 2 (với các tuổi là số thập phân) sẽ bị loại bỏ.

Do đó, bộ tuổi duy nhất hợp lý là từ Trường hợp 1.

Kết luận:

Tuổi của bốn người lần lượt là 17, 28, 39, 43.

Các em có thể tự kiểm tra lại các tổng:

• \(17 + 28 = 45\)
• \(17 + 39 = 56\)
• \(17 + 43 = 60\)
• \(28 + 39 = 67\)
• \(28 + 43 = 71\)
• \(39 + 43 = 82\)

Tất cả đều khớp với dữ liệu đề bài đưa ra.
Đây là một bài toán hay, giúp các em củng cố kiến thức về hệ phương trình và rèn luyện tư duy logic nhé!