Chào các em học sinh lớp 7! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về đa thức. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm các hệ số \(a\), \(b\), và \(c\) của một đa thức bậc hai \(F(x) = a.x^2 + b.x + c\), biết các giá trị của đa thức tại ba điểm khác nhau.

Đề bài: Tìm các hệ số \(a\), \(b\), \(c\) cho đa thức \(F(x) = a.x^2 + b.x + c\) biết:
\(F(0) = 1\)
\(F(1) = 3\)
\(F(2) = 9\)

Lời giải:

Chúng ta có đa thức \(F(x) = a.x^2 + b.x + c\). Đề bài cho chúng ta ba điều kiện, tương ứng với ba giá trị của \(x\) và \(F(x)\). Chúng ta sẽ lần lượt thay các giá trị này vào đa thức để thiết lập một hệ phương trình.

Bước 1: Sử dụng điều kiện \(F(0) = 1\)

Khi \(x = 0\), ta có:

\(F(0) = a.(0)^2 + b.(0) + c\)
\(F(0) = a.0 + 0 + c\)
\(F(0) = c\)

Vì đề bài cho \(F(0) = 1\), nên ta có:

\(c = 1\)

Bước 2: Sử dụng điều kiện \(F(1) = 3\)

Khi \(x = 1\), ta có:

\(F(1) = a.(1)^2 + b.(1) + c\)
\(F(1) = a.1 + b + c\)
\(F(1) = a + b + c\)

Vì đề bài cho \(F(1) = 3\), nên ta có:

\(a + b + c = 3\)

Chúng ta đã biết \(c = 1\) từ Bước 1. Thay giá trị của \(c\) vào phương trình này:

\(a + b + 1 = 3\)

Chuyển 1 sang vế phải, ta được một phương trình mới liên quan đến \(a\) và \(b\):

\(a + b = 3 – 1\)
\(a + b = 2\) (Phương trình 1)

Bước 3: Sử dụng điều kiện \(F(2) = 9\)

Khi \(x = 2\), ta có:

\(F(2) = a.(2)^2 + b.(2) + c\)
\(F(2) = a.4 + 2b + c\)
\(F(2) = 4a + 2b + c\)

Vì đề bài cho \(F(2) = 9\), nên ta có:

\(4a + 2b + c = 9\)

Chúng ta cũng đã biết \(c = 1\). Thay giá trị của \(c\) vào phương trình này:

\(4a + 2b + 1 = 9\)

Chuyển 1 sang vế phải:

\(4a + 2b = 9 – 1\)
\(4a + 2b = 8\)

Chúng ta có thể chia cả hai vế của phương trình này cho 2 để đơn giản hóa:

\(2a + b = 4\) (Phương trình 2)

Bước 4: Giải hệ phương trình với \(a\) và \(b\)

Bây giờ, chúng ta có một hệ hai phương trình với hai ẩn \(a\) và \(b\):

Phương trình 1: \(a + b = 2\)
Phương trình 2: \(2a + b = 4\)

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng trừ để giải hệ này. Ở đây, chúng ta sẽ dùng phương pháp trừ.

Lấy Phương trình 2 trừ đi Phương trình 1:

\((2a + b) – (a + b) = 4 – 2\)
\(2a + b – a – b = 2\)
\(a = 2\)

Bước 5: Tìm giá trị của \(b\)

Bây giờ chúng ta đã tìm được \(a = 2\). Chúng ta có thể thay giá trị này vào Phương trình 1 (hoặc Phương trình 2) để tìm \(b\).

Sử dụng Phương trình 1: \(a + b = 2\)

\(2 + b = 2\)

Trừ 2 ở cả hai vế:

\(b = 2 – 2\)
\(b = 0\)

Bước 6: Kết luận

Chúng ta đã tìm được:

\(a = 2\)
\(b = 0\)
\(c = 1\)

Vậy, đa thức \(F(x)\) là: \(F(x) = 2.x^2 + 0.x + 1\), hay đơn giản hơn là \(F(x) = 2x^2 + 1\).

Để kiểm tra lại, chúng ta có thể thay các giá trị \(a=2\), \(b=0\), \(c=1\) vào đa thức và kiểm tra các điều kiện đề bài:

\(F(0) = 2.(0)^2 + 1 = 0 + 1 = 1\) (Đúng)

\(F(1) = 2.(1)^2 + 1 = 2.1 + 1 = 2 + 1 = 3\) (Đúng)

\(F(2) = 2.(2)^2 + 1 = 2.4 + 1 = 8 + 1 = 9\) (Đúng)

Như vậy, chúng ta đã tìm được chính xác các hệ số của đa thức.

Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự để rèn luyện nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.