Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chuyển động trên sông rất thú vị nhé. Đây là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững công thức và kỹ năng giải phương trình.

Đề bài: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km. Cả đi lẫn về mất 8h20p. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng. Biết rằng vận tốc dòng nước là 4km/h.

Chúng ta cùng phân tích và giải bài toán này theo các bước sau:

Bước 1: Tóm tắt đề bài và đổi đơn vị

• Quãng đường sông (một chiều): \( S = 80 \text{ km} \)
• Tổng thời gian cả đi lẫn về: \( T_{tổng} = 8 \text{ giờ } 20 \text{ phút} \)
• Vận tốc dòng nước: \( v_n = 4 \text{ km/h} \)
• Cần tìm: Vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng (gọi là \( v_t \)).

Đầu tiên, chúng ta cần đổi tổng thời gian từ giờ và phút sang giờ:

\( T_{tổng} = 8 \text{ giờ } 20 \text{ phút} = 8 + \frac{20}{60} \text{ giờ} = 8 + \frac{1}{3} \text{ giờ} = \frac{24}{3} + \frac{1}{3} \text{ giờ} = \frac{25}{3} \text{ giờ} \)

Bước 2: Biểu diễn vận tốc và thời gian theo ẩn

Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là \( v_t \) (đơn vị: km/h). Điều kiện là \( v_t > v_n \), tức là \( v_t > 4 \text{ km/h} \) để tàu có thể đi ngược dòng.

Khi tàu đi xuôi dòng, vận tốc của tàu so với bờ là tổng của vận tốc tàu và vận tốc dòng nước:

\( v_{xuôi} = v_t + v_n = v_t + 4 \text{ (km/h)} \)

Thời gian tàu đi xuôi dòng hết quãng đường 80km là:

\( t_{xuôi} = \frac{S}{v_{xuôi}} = \frac{80}{v_t + 4} \text{ (giờ)} \)

Khi tàu đi ngược dòng, vận tốc của tàu so với bờ là hiệu của vận tốc tàu và vận tốc dòng nước:

\( v_{ngược} = v_t – v_n = v_t – 4 \text{ (km/h)} \)

Thời gian tàu đi ngược dòng hết quãng đường 80km là:

\( t_{ngược} = \frac{S}{v_{ngược}} = \frac{80}{v_t – 4} \text{ (giờ)} \)

Bước 3: Lập phương trình dựa vào tổng thời gian

Theo đề bài, tổng thời gian cả đi lẫn về là \( \frac{25}{3} \) giờ. Do đó, ta có phương trình:

\( t_{xuôi} + t_{ngược} = T_{tổng} \)

\( \frac{80}{v_t + 4} + \frac{80}{v_t – 4} = \frac{25}{3} \)

Bước 4: Giải phương trình tìm \( v_t \)

Để giải phương trình này, chúng ta cần quy đồng mẫu số và rút gọn:

Mẫu số chung là \( 3(v_t – 4)(v_t + 4) \). Lưu ý rằng \( (v_t – 4)(v_t + 4) = v_t^2 – 4^2 = v_t^2 – 16 \).

\( \frac{80(v_t – 4)}{(v_t + 4)(v_t – 4)} + \frac{80(v_t + 4)}{(v_t – 4)(v_t + 4)} = \frac{25}{3} \)

\( \frac{80(v_t – 4) + 80(v_t + 4)}{v_t^2 – 16} = \frac{25}{3} \)

Thực hiện phép nhân và cộng trên tử số:

\( \frac{80v_t – 320 + 80v_t + 320}{v_t^2 – 16} = \frac{25}{3} \)

\( \frac{160v_t}{v_t^2 – 16} = \frac{25}{3} \)

Tiếp theo, chúng ta nhân chéo:

\( 3 \times 160v_t = 25 \times (v_t^2 – 16) \)

\( 480v_t = 25v_t^2 – 25 \times 16 \)

\( 480v_t = 25v_t^2 – 400 \)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để được phương trình bậc hai:

\( 25v_t^2 – 480v_t – 400 = 0 \)

Chúng ta có thể chia cả phương trình cho 5 để đơn giản hóa:

\( 5v_t^2 – 96v_t – 80 = 0 \)

Đây là phương trình bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \), với \( a=5, b=-96, c=-80 \).

Tính biệt thức \( \Delta \):

\( \Delta = b^2 – 4ac = (-96)^2 – 4 \times 5 \times (-80) \)

\( \Delta = 9216 + 1600 \)

\( \Delta = 10816 \)

Căn bậc hai của \( \Delta \):

\( \sqrt{\Delta} = \sqrt{10816} = 104 \)

Tìm nghiệm của phương trình:

\( v_t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)

\( v_{t1} = \frac{-(-96) + 104}{2 \times 5} = \frac{96 + 104}{10} = \frac{200}{10} = 20 \)

\( v_{t2} = \frac{-(-96) – 104}{2 \times 5} = \frac{96 – 104}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8 \)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Vì vận tốc không thể là số âm, nên giá trị \( v_{t2} = -0.8 \) (km/h) bị loại bỏ.

Giá trị \( v_{t1} = 20 \) (km/h) thỏa mãn điều kiện \( v_t > 4 \) (20 > 4), nên đây là nghiệm hợp lệ.

Vậy, vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là \( 20 \text{ km/h} \).

Chúc mừng các em đã hoàn thành bài toán này!

Có bạn nào có thắc mắc gì không?

Thầy hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn cách làm dạng toán chuyển động trên sông nhé.