Chào các em học sinh lớp 9!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rút gọn biểu thức nhé. Bài toán yêu cầu chúng ta rút gọn biểu thức sau:

\(A = \frac{x\sqrt{x}-2}{x-4} + \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2} – \frac{x+2\sqrt{x}}{x-4}\)

với điều kiện \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\).

Đây là một dạng bài quen thuộc, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các phép biến đổi về căn thức và phân thức đại số. Hãy cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này từng bước một nhé!

Bước 1: Phân tích các mẫu thức và tìm mẫu thức chung (MTC).

Chúng ta có các mẫu thức là \(x-4\), \(\sqrt{x}+2\), và \(x-4\).
Ta thấy rằng, \(x-4\) có thể phân tích thành tích của hai nhân tử: \(x-4 = (\sqrt{x})^2 – 2^2 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\).
Như vậy, mẫu thức chung của cả ba phân thức sẽ là \((\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\) hay \(x-4\).

Bước 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức.

Biểu thức A được viết lại như sau:

\(A = \frac{x\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} + \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2} – \frac{x+2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)

Đối với phân thức thứ nhất và thứ ba, mẫu đã là MTC rồi. Chúng ta chỉ cần quy đồng phân thức thứ hai:

\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2} = \frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}\)

Bây giờ, chúng ta khai triển tử thức của phân thức này:

\((\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2) = (\sqrt{x})^2 – 2\sqrt{x} + 1\sqrt{x} – 2 = x – \sqrt{x} – 2\)

Vậy, phân thức thứ hai sau khi quy đồng là: \(\frac{x-\sqrt{x}-2}{x-4}\).

Bước 3: Thực hiện các phép cộng trừ phân thức.

Khi đã có cùng mẫu thức, chúng ta chỉ việc cộng trừ các tử thức với nhau:

\(A = \frac{x\sqrt{x}-2}{x-4} + \frac{x-\sqrt{x}-2}{x-4} – \frac{x+2\sqrt{x}}{x-4}\)

\(A = \frac{(x\sqrt{x}-2) + (x-\sqrt{x}-2) – (x+2\sqrt{x})}{x-4}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ mở ngoặc và thu gọn tử thức:

\(A = \frac{x\sqrt{x}-2 + x-\sqrt{x}-2 – x-2\sqrt{x}}{x-4}\)

Gom các hạng tử đồng dạng:

• Hạng tử chứa \(x\sqrt{x}\): \(x\sqrt{x}\)
• Hạng tử chứa \(x\): \(x – x = 0\)
• Hạng tử chứa \(\sqrt{x}\): \(-\sqrt{x} – 2\sqrt{x} = -3\sqrt{x}\)
• Hạng tử tự do (hằng số): \(-2 – 2 = -4\)

Vậy, tử thức sau khi thu gọn là: \(x\sqrt{x} – 3\sqrt{x} – 4\).

Biểu thức A lúc này trở thành:

\(A = \frac{x\sqrt{x} – 3\sqrt{x} – 4}{x-4}\)

Bước 4: Kiểm tra khả năng rút gọn thêm.

Ta có thể đặt \(t = \sqrt{x}\) (với \(t \ge 0\)). Khi đó, tử thức trở thành \(t^3 – 3t – 4\).

Chúng ta kiểm tra xem đa thức \(t^3 – 3t – 4\) có nhân tử nào chung với mẫu thức \(t^2 – 4 = (t-2)(t+2)\) không.

Thử các giá trị của \(t\) như \(t=2\) hoặc \(t=-2\):
Với \(t=2\), \(2^3 – 3(2) – 4 = 8 – 6 – 4 = -2 \ne 0\).
Với \(t=-2\), \((-2)^3 – 3(-2) – 4 = -8 + 6 – 4 = -6 \ne 0\).
Vì vậy, tử thức \(t^3 – 3t – 4\) không chia hết cho \(t-2\) hay \(t+2\), tức là không thể rút gọn thêm với mẫu thức \(x-4\).

Kết luận:

Vậy, biểu thức đã được rút gọn là:

\(A = \frac{x\sqrt{x} – 3\sqrt{x} – 4}{x-4}\)

Các em nhớ kiểm tra lại từng bước làm của mình để đảm bảo chính xác nhé. Chúc các em học tốt!