Chào các em học sinh lớp 9!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán chuyển động rất thú vị, đòi hỏi các em phải vận dụng kiến thức về hệ phương trình. Đây là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi đấy nhé!

Đề bài:

Một ô tô đi từ A đến B dài 260 km. Nếu tăng vận tốc thêm 10km/h thì xe đến B sớm hơn thời gian dự định 1 giờ 18 phút. Tính vận tốc dự định của ô tô.

Chúng ta cùng nhau phân tích và giải bài toán này theo các bước sau:

Bước 1: Đổi đơn vị thời gian

Đề bài cho thời gian đến sớm hơn là 1 giờ 18 phút. Để tiện tính toán, chúng ta cần đổi thời gian này sang đơn vị giờ.

1 giờ 18 phút = \(1 + \frac{18}{60}\) giờ = \(1 + \frac{3}{10}\) giờ = \(1 + 0.3\) giờ = \(1.3\) giờ.

Bước 2: Gọi ẩn và đặt điều kiện

Trong bài toán này, chúng ta cần tìm vận tốc dự định của ô tô. Vì vậy, chúng ta sẽ gọi vận tốc dự định là một ẩn.

• Gọi vận tốc dự định của ô tô là \(v\) (km/h).
• Điều kiện: \(v > 0\).
• Gọi thời gian dự định ô tô đi hết quãng đường AB là \(t\) (giờ).
• Điều kiện: \(t > 0\).

Bước 3: Lập hệ phương trình

Theo công thức Quãng đường = Vận tốc \(\times\) Thời gian (\(S = v \times t\)), ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Theo dự định

Quãng đường AB dài 260 km, vận tốc dự định là \(v\), thời gian dự định là \(t\).

Ta có phương trình thứ nhất:

\(260 = v \cdot t\) (1)

Trường hợp 2: Khi tăng vận tốc

Nếu tăng vận tốc thêm 10km/h, thì vận tốc mới sẽ là \(v + 10\) (km/h).

Khi đó, xe đến B sớm hơn thời gian dự định 1 giờ 18 phút (tức 1.3 giờ), nên thời gian thực tế đi là \(t – 1.3\) (giờ).

Quãng đường AB vẫn là 260 km.

Ta có phương trình thứ hai:

\(260 = (v + 10) \cdot (t – 1.3)\) (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases} vt = 260 \\ (v + 10)(t – 1.3) = 260 \end{cases}\)

Bước 4: Giải hệ phương trình

Từ phương trình (1), ta rút \(t\) theo \(v\):

\(t = \frac{260}{v}\)

Thế biểu thức của \(t\) vào phương trình (2):

\((v + 10)\left(\frac{260}{v} – 1.3\right) = 260\)

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân phá ngoặc và rút gọn:

\(v \cdot \frac{260}{v} – v \cdot 1.3 + 10 \cdot \frac{260}{v} – 10 \cdot 1.3 = 260\)

\(260 – 1.3v + \frac{2600}{v} – 13 = 260\)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế và rút gọn:

\(-1.3v + \frac{2600}{v} – 13 = 0\)

Để loại bỏ mẫu số \(v\), ta nhân cả hai vế với \(v\) (vì \(v > 0\), nên \(v \neq 0\)):

\(-1.3v^2 + 2600 – 13v = 0\)

Sắp xếp lại phương trình theo dạng bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):

\(-1.3v^2 – 13v + 2600 = 0\)

Nhân cả hai vế với \(-10\) để làm cho các hệ số là số nguyên và dễ tính toán hơn:

\(13v^2 + 130v – 26000 = 0\)

Chia cả hai vế cho 13:

\(v^2 + 10v – 2000 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai với \(a = 1, b = 10, c = -2000\). Chúng ta có thể giải bằng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử (nếu có thể).

Tính biệt thức Delta (\(\Delta\)):

\(\Delta = b^2 – 4ac = 10^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-2000)\)

\(\Delta = 100 + 8000 = 8100\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(v = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

\(v_1 = \frac{-10 + \sqrt{8100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 90}{2} = \frac{80}{2} = 40\)

\(v_2 = \frac{-10 – \sqrt{8100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 – 90}{2} = \frac{-100}{2} = -50\)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Chúng ta có hai nghiệm cho \(v\): \(40\) và \(-50\).

Theo điều kiện đã đặt, vận tốc \(v\) phải lớn hơn 0 (\(v > 0\)).

• Nghiệm \(v_1 = 40\) thỏa mãn điều kiện \(v > 0\).
• Nghiệm \(v_2 = -50\) không thỏa mãn điều kiện \(v > 0\), nên ta loại bỏ.

Vậy, vận tốc dự định của ô tô là 40 km/h.

Kiểm tra lại (không bắt buộc nhưng rất nên làm):

• Nếu vận tốc dự định là 40 km/h, thời gian dự định là \(t = \frac{260}{40} = 6.5\) giờ.
• Nếu tăng vận tốc thêm 10 km/h, vận tốc mới là \(40 + 10 = 50\) km/h.
• Thời gian thực tế đi là \(t’ = \frac{260}{50} = 5.2\) giờ.
• Thời gian đến sớm hơn là \(6.5 – 5.2 = 1.3\) giờ.

1.3 giờ chính bằng 1 giờ 18 phút, hoàn toàn khớp với đề bài. Vậy kết quả của chúng ta là chính xác.

Kết luận:

Vận tốc dự định của ô tô là 40 km/h.

Các em thấy không, việc nắm vững cách đặt ẩn, lập hệ phương trình và giải phương trình bậc hai là rất quan trọng để giải quyết các bài toán thực tế này. Hãy luyện tập thêm để thành thạo nhé!