Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chuyển động rất thú vị. Đây là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi, đòi hỏi chúng ta phải phân tích kỹ đề bài và lập hệ phương trình để giải quyết.

Đề bài: Quãng đường từ A đến B dài 90km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B.

Phân tích bài toán và hướng giải:

Bài toán này liên quan đến các đại lượng: quãng đường, vận tốc và thời gian. Chúng ta sẽ sử dụng công thức cơ bản: quãng đường = vận tốc \(\times\) thời gian, hay suy ra thời gian = quãng đường / vận tốc.

Đầu tiên, chúng ta cần xác định các đại lượng chưa biết và đặt ẩn số cho chúng.

Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện của ẩn

Gọi vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B là \(v\) (km/h).

Vì vận tốc phải là một số dương, nên điều kiện của \(v\) là \(v > 0\).

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn

Chúng ta có các thông tin sau:

• Quãng đường AB: \(S_{AB} = 90\) km.
• Quãng đường BA: \(S_{BA} = 90\) km.
• Vận tốc lúc đi từ A đến B: \(v_1 = v\) (km/h).
• Vận tốc lúc về từ B đến A: Lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h, nên \(v_2 = v + 9\) (km/h).
• Thời gian nghỉ tại B: 30 phút. Chúng ta cần đổi sang giờ để đồng bộ đơn vị.
  30 phút = \(\frac{30}{60}\) giờ = \(0.5\) giờ.
• Tổng thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về A: 5 giờ.

Bây giờ, chúng ta sẽ tính thời gian xe máy đi và về:

• Thời gian xe máy đi từ A đến B là: \(t_1 = \frac{S_{AB}}{v_1} = \frac{90}{v}\) (giờ).
• Thời gian xe máy đi từ B về A là: \(t_2 = \frac{S_{BA}}{v_2} = \frac{90}{v+9}\) (giờ).

Bước 3: Lập phương trình

Tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc về A bao gồm thời gian đi, thời gian nghỉ và thời gian về.

Theo đề bài, tổng thời gian này là 5 giờ. Vậy ta có phương trình:

Thời gian đi + Thời gian nghỉ + Thời gian về = 5 giờ

\(t_1 + 0.5 + t_2 = 5\)

Thay các biểu thức của \(t_1\) và \(t_2\) vào phương trình, ta được:

\(\frac{90}{v} + 0.5 + \frac{90}{v+9} = 5\)

Bước 4: Giải phương trình

Đầu tiên, chúng ta chuyển \(0.5\) sang vế phải:

\(\frac{90}{v} + \frac{90}{v+9} = 5 – 0.5\)

\(\frac{90}{v} + \frac{90}{v+9} = 4.5\)

Để giải phương trình này, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là \(v(v+9)\).

\(\frac{90(v+9)}{v(v+9)} + \frac{90v}{v(v+9)} = 4.5\)

\(\frac{90(v+9) + 90v}{v(v+9)} = 4.5\)

Nhân chéo (chú ý \(v \ne 0\) và \(v+9 \ne 0\), điều này đã được đảm bảo bởi điều kiện \(v > 0\)):

\(90(v+9) + 90v = 4.5 \times v(v+9)\)

Khai triển và rút gọn:

\(90v + 810 + 90v = 4.5v^2 + 4.5 \times 9v\)

\(180v + 810 = 4.5v^2 + 40.5v\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để đưa về dạng phương trình bậc hai:

\(0 = 4.5v^2 + 40.5v – 180v – 810\)

\(0 = 4.5v^2 – 139.5v – 810\)

Để đơn giản hóa, chúng ta có thể nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ số thập phân:

\(0 = 9v^2 – 279v – 1620\)

Tiếp theo, chúng ta nhận thấy tất cả các hệ số đều chia hết cho 9. Chia cả hai vế cho 9:

\(0 = v^2 – 31v – 180\)

Đây là một phương trình bậc hai dạng \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a=1\), \(b=-31\), \(c=-180\).

Chúng ta tính biệt thức \(\Delta\):

\(\Delta = b^2 – 4ac = (-31)^2 – 4(1)(-180)\)

\(\Delta = 961 + 720\)

\(\Delta = 1681\)

\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{1681} = 41\)

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\(v = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

\(v = \frac{-(-31) \pm 41}{2(1)}\)

\(v = \frac{31 \pm 41}{2}\)

Chúng ta có hai nghiệm:

\(v_1 = \frac{31 + 41}{2} = \frac{72}{2} = 36\)

\(v_2 = \frac{31 – 41}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Theo điều kiện ban đầu, vận tốc \(v\) phải lớn hơn 0 (\(v > 0\)).

• Nghiệm \(v_1 = 36\) thỏa mãn điều kiện \(v > 0\).
• Nghiệm \(v_2 = -5\) không thỏa mãn điều kiện \(v > 0\) (vận tốc không thể âm).

Vậy, vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B là 36 km/h.

Trả lời:

Vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B là 36 km/h.

Hy vọng bài giải này sẽ giúp các em hiểu rõ cách trình bày và giải quyết dạng toán này nhé!