Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về khảo sát hàm số, cụ thể là tìm số giá trị nguyên của x trong khoảng nghịch biến của hàm số.

Đề bài: Cho hàm số: \(y = \frac{x^{2}}{2x+5}\)
Có bao nhiêu giá trị x nguyên thuộc khoảng nghịch biến?

Chúng ta cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Để hàm số \(y = \frac{x^{2}}{2x+5}\) có nghĩa, mẫu số phải khác 0.

\(2x+5 \neq 0\)

\(2x \neq -5\)

\(x \neq -\frac{5}{2}\)

Vậy, tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{5}{2}\right\}\).

Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số.

Chúng ta sử dụng công thức đạo hàm của một thương: \(\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}\).

Ở đây, đặt \(u = x^2\) và \(v = 2x+5\).

Ta có:
\(u’ = (x^2)’ = 2x\)
\(v’ = (2x+5)’ = 2\)

Áp dụng công thức, ta được đạo hàm \(y’\):

\(y’ = \frac{2x(2x+5) – x^2(2)}{(2x+5)^2}\)

\(y’ = \frac{4x^2 + 10x – 2x^2}{(2x+5)^2}\)

\(y’ = \frac{2x^2 + 10x}{(2x+5)^2}\)

\(y’ = \frac{2x(x+5)}{(2x+5)^2}\)

Bước 3: Tìm các điểm cực trị (nếu có) và các điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.

Hàm số nghịch biến khi \(y’ < 0\).

Mẫu số \((2x+5)^2\) luôn dương với mọi \(x \neq -\frac{5}{2}\).

Vậy, dấu của \(y’\) phụ thuộc vào dấu của tử số \(2x(x+5)\).

Tìm nghiệm của tử số:
\(2x(x+5) = 0\)
Điều này cho ta \(x = 0\) hoặc \(x = -5\).

Bước 4: Lập bảng xét dấu của đạo hàm \(y’\).

Các điểm cần xét trên trục số là \(-5\), \(-\frac{5}{2}\) (điểm làm cho mẫu số bằng 0), và \(0\).

Xét dấu của \(2x(x+5)\) (là một parabol hướng lên với hai nghiệm \(-5\) và \(0\)):
– Khi \(x < -5\), \(2x(x+5) > 0\).
– Khi \(-5 < x < 0\), \(2x(x+5) < 0\).
– Khi \(x > 0\), \(2x(x+5) > 0\).

Bảng xét dấu \(y’\):

Bước 5: Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số.

Từ bảng xét dấu, hàm số nghịch biến khi \(y’ < 0\).

Điều này xảy ra trên các khoảng:
\(\left(-5; -\frac{5}{2}\right)\) và \(\left(-\frac{5}{2}; 0\right)\).

Bước 6: Tìm các giá trị nguyên của x thuộc các khoảng nghịch biến.

Ta có \(\frac{5}{2} = 2.5\).

Khoảng 1: \(\left(-5; -2.5\right)\)
Các số nguyên \(x\) thuộc khoảng này là: \(-4, -3\).

Khoảng 2: \(\left(-2.5; 0\right)\)
Các số nguyên \(x\) thuộc khoảng này là: \(-2, -1\).

Bước 7: Tổng hợp và đếm số giá trị nguyên.

Các giá trị nguyên của \(x\) thuộc các khoảng nghịch biến là: \(-4, -3, -2, -1\).

Tổng cộng có 4 giá trị nguyên.

Vậy, có 4 giá trị x nguyên thuộc khoảng nghịch biến của hàm số đã cho.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức nhé!