Xin chào các em học sinh lớp 12!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về dãy số truy hồi, một chủ đề rất quan trọng trong môn Toán rời rạc. Dù đây là một bài toán ở cấp độ đại học nhưng về cơ bản, chúng ta vẫn có thể giải quyết được bằng các kiến thức và tư duy quen thuộc của mình.

Đề bài:

Cho dãy số được định nghĩa bởi công thức truy hồi sau:

\(a_n = 2a_{n-1} + 1\)

Với điều kiện ban đầu là: \(a_1 = 3\)

Yêu cầu là tìm giá trị của \(a_4\).

Các lựa chọn là:
A. 23
B. 31
C. 39
D. 47

Phân tích và phương pháp giải:

Để tìm giá trị của \(a_4\), chúng ta sẽ sử dụng công thức truy hồi đã cho để tính lần lượt các số hạng của dãy từ \(a_1\) cho đến \(a_4\). Đây là phương pháp tính trực tiếp, rất hiệu quả khi chúng ta cần tìm một số hạng không quá xa số hạng ban đầu.

Bắt đầu giải:

Chúng ta đã biết giá trị của số hạng đầu tiên, \(a_1\):
\(a_1 = 3\)

Bước 1: Tính \(a_2\)

Sử dụng công thức truy hồi \(a_n = 2a_{n-1} + 1\) với \(n = 2\):
\(a_2 = 2a_{2-1} + 1\)
\(a_2 = 2a_1 + 1\)

Thay giá trị \(a_1 = 3\) vào công thức:
\(a_2 = 2(3) + 1\)
\(a_2 = 6 + 1\)
\(a_2 = 7\)

Bước 2: Tính \(a_3\)

Tiếp tục sử dụng công thức truy hồi với \(n = 3\):
\(a_3 = 2a_{3-1} + 1\)
\(a_3 = 2a_2 + 1\)

Thay giá trị \(a_2 = 7\) vừa tìm được vào công thức:
\(a_3 = 2(7) + 1\)
\(a_3 = 14 + 1\)
\(a_3 = 15\)

Bước 3: Tính \(a_4\)

Cuối cùng, chúng ta tính \(a_4\) bằng cách sử dụng công thức truy hồi với \(n = 4\):
\(a_4 = 2a_{4-1} + 1\)
\(a_4 = 2a_3 + 1\)

Thay giá trị \(a_3 = 15\) vừa tìm được vào công thức:
\(a_4 = 2(15) + 1\)
\(a_4 = 30 + 1\)
\(a_4 = 31\)

Vậy, giá trị của \(a_4\) là 31.

Đối chiếu với các đáp án:

A. 23
B. 31
C. 39
D. 47

Chúng ta thấy rằng kết quả \(a_4 = 31\) trùng khớp với đáp án B.

Lời khuyên thêm:

Trong một số trường hợp, khi cần tìm một số hạng rất lớn của dãy hoặc muốn hiểu rõ hơn về tính chất của dãy, chúng ta có thể tìm công thức tổng quát cho \(a_n\). Đối với dãy số có dạng \(a_n = k \cdot a_{n-1} + c\) (với \(k \neq 1\)), công thức tổng quát thường có dạng \(a_n = A \cdot k^n + B\). Ví dụ với bài này, điểm cố định là \(x = 2x+1 \Rightarrow x = -1\). Đặt \(b_n = a_n – (-1) = a_n+1\), ta có \(b_n = a_n+1 = (2a_{n-1}+1)+1 = 2a_{n-1}+2 = 2(a_{n-1}+1) = 2b_{n-1}\). Đây là một cấp số nhân với công bội là 2. Với \(b_1 = a_1+1 = 3+1 = 4\), ta có \(b_n = b_1 \cdot 2^{n-1} = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^2 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}\). Do đó, \(a_n = b_n – 1 = 2^{n+1} – 1\).

Thử lại với công thức tổng quát:

• \(a_1 = 2^{1+1} – 1 = 2^2 – 1 = 4 – 1 = 3\) (Đúng)
• \(a_2 = 2^{2+1} – 1 = 2^3 – 1 = 8 – 1 = 7\) (Đúng)
• \(a_3 = 2^{3+1} – 1 = 2^4 – 1 = 16 – 1 = 15\) (Đúng)
• \(a_4 = 2^{4+1} – 1 = 2^5 – 1 = 32 – 1 = 31\) (Đúng)

Như các em thấy, công thức tổng quát này cho ra cùng kết quả và rất hữu ích nếu chúng ta cần tìm các số hạng xa hơn như \(a_{100}\). Tuy nhiên, với yêu cầu tìm một số hạng cụ thể không quá xa như \(a_4\), phương pháp tính lặp vẫn là cách đơn giản và nhanh chóng nhất.

Mong rằng bài giải này giúp các em hiểu rõ cách làm bài toán dạng này. Chúc các em học tốt!