Chào các em học sinh yêu quý của thầy!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chuyển động có liên quan đến vận tốc của ca nô và vận tốc của dòng nước. Đây là một dạng bài rất hay gặp và yêu cầu chúng ta phải phân tích kỹ lưỡng từng dữ kiện.

Chúng ta hãy cùng đọc kỹ đề bài nhé:

Đề bài: Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12km rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30 phút. Nếu cũng quãng đường sông ấy, ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km thì hết 1 giờ 20 phút. Biết rằng vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước là không đổi, tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Phân tích đề bài và đặt ẩn

Bài toán yêu cầu chúng ta tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước. Vậy, chúng ta sẽ đặt ẩn cho hai đại lượng này:

• Gọi vận tốc riêng của ca nô là \(v_c\) (km/h). Điều kiện: \(v_c > 0\).
• Gọi vận tốc riêng của dòng nước là \(v_n\) (km/h). Điều kiện: \(v_n > 0\).

Vì ca nô có thể đi ngược dòng, nên vận tốc riêng của ca nô phải lớn hơn vận tốc dòng nước, tức là: \(v_c > v_n\).

Bước 2: Biểu diễn các vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng

Khi ca nô xuôi dòng, vận tốc của ca nô sẽ được cộng thêm vận tốc của dòng nước:

Vận tốc xuôi dòng là: \(v_{xuoi} = v_c + v_n\) (km/h).

Khi ca nô ngược dòng, vận tốc của ca nô sẽ bị trừ đi vận tốc của dòng nước:

Vận tốc ngược dòng là: \(v_{nguoc} = v_c – v_n\) (km/h).

Bước 3: Chuyển đổi đơn vị thời gian

Trong bài toán có hai mốc thời gian, chúng ta cần chuyển chúng sang đơn vị giờ để dễ tính toán:

• 2 giờ 30 phút = \(2 + \frac{30}{60}\) giờ = \(2 + \frac{1}{2}\) giờ = \(2.5\) giờ.
• 1 giờ 20 phút = \(1 + \frac{20}{60}\) giờ = \(1 + \frac{1}{3}\) giờ = \(\frac{4}{3}\) giờ.

Bước 4: Lập hệ phương trình từ các dữ kiện của bài toán

Dữ kiện thứ nhất: Ca nô xuôi dòng 12km rồi ngược dòng quãng sông đó (tức là 12km) mất 2 giờ 30 phút.

• Thời gian xuôi dòng 12km là: \(\frac{12}{v_c + v_n}\) (giờ).
• Thời gian ngược dòng 12km là: \(\frac{12}{v_c – v_n}\) (giờ).

Tổng thời gian là 2.5 giờ, nên ta có phương trình (1):

\(\frac{12}{v_c + v_n} + \frac{12}{v_c – v_n} = 2.5\) (1)

Dữ kiện thứ hai: Cũng quãng đường sông ấy (ý nói cùng vận tốc của ca nô và dòng nước), ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km thì hết 1 giờ 20 phút.

• Thời gian xuôi dòng 4km là: \(\frac{4}{v_c + v_n}\) (giờ).
• Thời gian ngược dòng 8km là: \(\frac{8}{v_c – v_n}\) (giờ).

Tổng thời gian là \(\frac{4}{3}\) giờ, nên ta có phương trình (2):

\(\frac{4}{v_c + v_n} + \frac{8}{v_c – v_n} = \frac{4}{3}\) (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases} \frac{12}{v_c + v_n} + \frac{12}{v_c – v_n} = 2.5 \\ \frac{4}{v_c + v_n} + \frac{8}{v_c – v_n} = \frac{4}{3} \end{cases}\)

Bước 5: Giải hệ phương trình

Để giải hệ phương trình này một cách thuận tiện, chúng ta sẽ đặt ẩn phụ:

Đặt \(a = \frac{1}{v_c + v_n}\) và \(b = \frac{1}{v_c – v_n}\).

Hệ phương trình trở thành:

\(\begin{cases} 12a + 12b = 2.5 \quad (I) \\ 4a + 8b = \frac{4}{3} \quad (II) \end{cases}\)

Từ phương trình (II), ta có thể chia cả hai vế cho 4:

\(a + 2b = \frac{1}{3}\)

Suy ra: \(a = \frac{1}{3} – 2b\)

Thế biểu thức của \(a\) vào phương trình (I):

\(12\left(\frac{1}{3} – 2b\right) + 12b = 2.5\)

\(4 – 24b + 12b = 2.5\)

\(4 – 12b = 2.5\)

\(12b = 4 – 2.5\)

\(12b = 1.5\)

\(b = \frac{1.5}{12} = \frac{3/2}{12} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\)

Bây giờ, chúng ta tìm giá trị của \(a\):

\(a = \frac{1}{3} – 2b = \frac{1}{3} – 2\left(\frac{1}{8}\right)\)

\(a = \frac{1}{3} – \frac{1}{4}\)

\(a = \frac{4}{12} – \frac{3}{12} = \frac{1}{12}\)

Vậy, chúng ta có \(a = \frac{1}{12}\) và \(b = \frac{1}{8}\).

Bước 6: Tìm vận tốc của ca nô và dòng nước

Nhớ lại cách đặt ẩn phụ ban đầu:

• \(a = \frac{1}{v_c + v_n} \Rightarrow \frac{1}{v_c + v_n} = \frac{1}{12} \Rightarrow v_c + v_n = 12\) (III)
• \(b = \frac{1}{v_c – v_n} \Rightarrow \frac{1}{v_c – v_n} = \frac{1}{8} \Rightarrow v_c – v_n = 8\) (IV)

Chúng ta có một hệ phương trình mới đơn giản hơn:

\(\begin{cases} v_c + v_n = 12 \\ v_c – v_n = 8 \end{cases}\)

Cộng hai phương trình (III) và (IV) với nhau:

\((v_c + v_n) + (v_c – v_n) = 12 + 8\)

\(2v_c = 20\)

\(v_c = \frac{20}{2}\)

\(v_c = 10\) (km/h)

Thế \(v_c = 10\) vào phương trình (III):

\(10 + v_n = 12\)

\(v_n = 12 – 10\)

\(v_n = 2\) (km/h)

Kiểm tra điều kiện: \(v_c = 10 > 0\), \(v_n = 2 > 0\) và \(v_c > v_n\) (10 > 2), tất cả đều thỏa mãn.

Bước 7: Kết luận

Vậy, vận tốc riêng của ca nô là 10 km/h và vận tốc riêng của dòng nước là 2 km/h.

Các em thấy không, bài toán tuy dài nhưng nếu chúng ta làm từng bước một, đặt ẩn phụ hợp lý thì sẽ giải quyết được một cách dễ dàng. Chúc các em học tốt!