Chào em! Thầy/Cô sẽ hướng dẫn em giải bài toán này một cách chi tiết nhé.

Đây là một bài toán chuyển động có hai đối tượng (thuyền và ca nô) di chuyển trên cùng một quãng đường và có sự chênh lệch về thời gian xuất phát.

Phân tích đề bài và đặt biến:

• Thuyền và ca nô gặp nhau cách bến A 20km. Điều này có nghĩa là cả thuyền và ca nô đều đi được quãng đường là 20km.
• Ca nô khởi hành sau thuyền 5 giờ 20 phút.
• Vận tốc ca nô lớn hơn vận tốc thuyền 20km/h.
• Yêu cầu: Tính vận tốc của thuyền.

Bước 1: Đổi đơn vị thời gian và đặt biến

Thời gian ca nô khởi hành sau thuyền là 5 giờ 20 phút. Chúng ta cần đổi đơn vị này sang giờ để thuận tiện cho việc tính toán:
\(5 \text{ giờ } 20 \text{ phút} = 5 + \frac{20}{60} \text{ giờ} = 5 + \frac{1}{3} \text{ giờ} = \frac{15}{3} + \frac{1}{3} \text{ giờ} = \frac{16}{3} \text{ giờ}\).

Gọi vận tốc của thuyền là \(v\) (km/h). (Điều kiện: \(v > 0\), vì vận tốc là một đại lượng dương).

Theo đề bài, ca nô chạy nhanh hơn thuyền 20km/h, vậy vận tốc của ca nô là \((v + 20)\) (km/h).

Bước 2: Biểu diễn thời gian di chuyển của mỗi phương tiện

Cả thuyền và ca nô đều đi được quãng đường là 20km cho đến khi gặp nhau.

Thời gian thuyền đi hết quãng đường 20km là:
\(t_{\text{thuyền}} = \frac{\text{Quãng đường}}{\text{Vận tốc thuyền}} = \frac{20}{v}\) (giờ).

Thời gian ca nô đi hết quãng đường 20km là:
\(t_{\text{ca nô}} = \frac{\text{Quãng đường}}{\text{Vận tốc ca nô}} = \frac{20}{v + 20}\) (giờ).

Bước 3: Lập phương trình dựa trên mối quan hệ thời gian

Vì thuyền khởi hành trước ca nô \(\frac{16}{3}\) giờ, nên thời gian di chuyển của thuyền sẽ nhiều hơn thời gian di chuyển của ca nô chính bằng khoảng thời gian đó.

Ta có phương trình:
\(t_{\text{thuyền}} – t_{\text{ca nô}} = \frac{16}{3}\)
Thay các biểu thức thời gian đã lập ở Bước 2 vào phương trình:
\(\frac{20}{v} – \frac{20}{v + 20} = \frac{16}{3}\)

Bước 4: Giải phương trình

Để giải phương trình này, ta cần quy đồng mẫu số và khử mẫu.

Đầu tiên, ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho 4 để đơn giản hóa:
\(\frac{5}{v} – \frac{5}{v + 20} = \frac{4}{3}\)

Quy đồng mẫu số chung là \(3v(v + 20)\):
\(\frac{5 \cdot 3(v + 20)}{3v(v + 20)} – \frac{5 \cdot 3v}{3v(v + 20)} = \frac{4v(v + 20)}{3v(v + 20)}\)

Sau khi quy đồng, ta khử mẫu (Với điều kiện \(v \neq 0\) và \(v \neq -20\), mà ta đã đặt \(v > 0\), nên điều kiện này được thỏa mãn):
\(15(v + 20) – 15v = 4v(v + 20)\)

Triển khai và rút gọn:
\(15v + 300 – 15v = 4v^2 + 80v\)
\(300 = 4v^2 + 80v\)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để đưa về dạng phương trình bậc hai:
\(4v^2 + 80v – 300 = 0\)

Chia cả hai vế cho 4 để đơn giản phương trình:
\(v^2 + 20v – 75 = 0\)

Đây là phương trình bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với \(a = 1, b = 20, c = -75\). Ta sẽ sử dụng công thức nghiệm:
\(\Delta = b^2 – 4ac = (20)^2 – 4(1)(-75) = 400 + 300 = 700\)
\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{700} = \sqrt{100 \cdot 7} = 10\sqrt{7}\)

Các nghiệm của phương trình là:
\(v_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-20 + 10\sqrt{7}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 10\sqrt{7}}{2} = -10 + 5\sqrt{7}\)
\(v_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-20 – 10\sqrt{7}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 – 10\sqrt{7}}{2} = -10 – 5\sqrt{7}\)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện của nghiệm

Ta đã đặt điều kiện cho vận tốc của thuyền là \(v > 0\).

Với \(v_2 = -10 – 5\sqrt{7}\), giá trị này là số âm, không thỏa mãn điều kiện \(v > 0\). Vì vậy, ta loại nghiệm này.

Với \(v_1 = -10 + 5\sqrt{7}\):
Ta biết \(\sqrt{7} \approx 2.645\).
Vậy \(v_1 \approx -10 + 5 \times 2.645 = -10 + 13.225 = 3.225\) (km/h).
Giá trị này là số dương, thỏa mãn điều kiện \(v > 0\).

Kết luận:

Vậy, vận tốc của thuyền là \(5\sqrt{7} – 10\) km/h.
(Giá trị xấp xỉ là khoảng 3.225 km/h).

Thầy/Cô hy vọng phần giải thích này giúp em hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!