A = \(\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + … + \frac{1}{99 \times 100}\)

Các em nhìn thấy biểu thức này có quen thuộc không? Nó có dạng tổng của các phân số có mẫu số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp rất hay gọi là “khai triển tích thành hiệu”.

Bước 1: Phân tích từng số hạng trong tổng

Chúng ta hãy xem xét số hạng đầu tiên: \(\frac{1}{2 \times 3}\).
Liệu chúng ta có thể viết nó dưới dạng hiệu của hai phân số nào đó không?
Các em hãy thử nghĩ xem, nếu ta có \(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\), thì kết quả sẽ là bao nhiêu?
\(\frac{1}{2} – \frac{1}{3} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} – \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{3}{6} – \frac{2}{6} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}\).
À, thật tuyệt vời! \(\frac{1}{6}\) chính là \(\frac{1}{2 \times 3}\).
Vậy, ta có: \(\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} – \frac{1}{3}\).

Bây giờ, chúng ta tiếp tục với số hạng thứ hai: \(\frac{1}{3 \times 4}\).
Tương tự, ta sẽ thử \(\frac{1}{3} – \frac{1}{4}\).
\(\frac{1}{3} – \frac{1}{4} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} – \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{4}{12} – \frac{3}{12} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}\).
Đúng rồi! \(\frac{1}{12}\) chính là \(\frac{1}{3 \times 4}\).
Vậy, ta có: \(\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} – \frac{1}{4}\).

Chúng ta có thể thấy một quy luật ở đây. Với một số hạng có dạng \(\frac{1}{n \times (n+1)}\), ta luôn có thể viết nó thành \(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\).
Tại sao lại như vậy?
\(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} = \frac{1 \times (n+1)}{n \times (n+1)} – \frac{1 \times n}{(n+1) \times n} = \frac{n+1}{n(n+1)} – \frac{n}{n(n+1)} = \frac{(n+1) – n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}\).
Công thức này là chìa khóa để giải bài toán của chúng ta.

Bước 2: Áp dụng quy luật vào biểu thức A

Bây giờ, chúng ta sẽ viết lại biểu thức A bằng cách áp dụng quy luật này cho từng số hạng:

A = \(\left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} – \frac{1}{5}\right) + … + \left(\frac{1}{99} – \frac{1}{100}\right)\)

Bước 3: Rút gọn biểu thức

Các em hãy nhìn kỹ vào biểu thức vừa viết. Chúng ta thấy rằng có những số hạng bị triệt tiêu lẫn nhau.

* Số hạng \(-\frac{1}{3}\) ở trong ngoặc đầu tiên sẽ bị triệt tiêu bởi số hạng \(+\frac{1}{3}\) ở trong ngoặc thứ hai.
* Số hạng \(-\frac{1}{4}\) ở trong ngoặc thứ hai sẽ bị triệt tiêu bởi số hạng \(+\frac{1}{4}\) ở trong ngoặc thứ ba.
* Cứ như vậy, các số hạng ở giữa sẽ lần lượt bị triệt tiêu.

Đây gọi là “phép cộng nối đuôi” hoặc “phép cộng triệt tiêu”.

Sau khi triệt tiêu hết các số hạng ở giữa, chúng ta sẽ còn lại:

A = \(\frac{1}{2} – \frac{1}{100}\)

Bước 4: Tính kết quả cuối cùng

Bây giờ, chúng ta chỉ cần thực hiện phép trừ hai phân số này. Để trừ được, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của 2 và 100 là 100.

A = \(\frac{1 \times 50}{2 \times 50} – \frac{1}{100}\)
A = \(\frac{50}{100} – \frac{1}{100}\)
A = \(\frac{50 – 1}{100}\)
A = \(\frac{49}{100}\)

Vậy là chúng ta đã giải xong bài toán rồi! Giá trị của biểu thức A là \(\frac{49}{100}\).

Kết luận:

Bài toán này cho chúng ta thấy sức mạnh của việc nhận ra quy luật và sử dụng phương pháp khai triển tích thành hiệu. Khi gặp những bài toán có dạng tương tự, các em hãy nhớ đến phương pháp này nhé!

Các em có câu hỏi nào không?