Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán đại số khá thú vị. Bài toán yêu cầu chúng ta tính giá trị của một biểu thức khi biết một điều kiện cho trước. Đây là dạng bài tập rất hay để rèn luyện kỹ năng biến đổi và rút gọn biểu thức.

Đề bài: Cho 2 số \(x, y\) khác 0, thỏa điều kiện \(\frac{1}{y} – \frac{1}{x} = 1\).
Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x-1}{y} – \frac{y-1}{x} – x – y\).

Nào, chúng ta hãy cùng bắt tay vào giải quyết bài toán này nhé!

Phân tích đề bài và tìm hướng giải:

Chúng ta có hai thông tin quan trọng:

1. \(\boldsymbol{x, y \neq 0}\): Điều này đảm bảo các phân số \(\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{x}{y}, \frac{y}{x}\) luôn có nghĩa.
2. Điều kiện đã cho: \(\boldsymbol{\frac{1}{y} – \frac{1}{x} = 1}\). Đây là “chìa khóa” để giải bài toán.

Biểu thức cần tính là \(A = \frac{x-1}{y} – \frac{y-1}{x} – x – y\). Nhiệm vụ của chúng ta là biến đổi biểu thức \(A\) sao cho có thể sử dụng được điều kiện đã cho.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Rút gọn điều kiện đã cho.

Từ điều kiện \(\frac{1}{y} – \frac{1}{x} = 1\), chúng ta hãy quy đồng mẫu số để làm gọn nó:

\(\frac{x}{xy} – \frac{y}{xy} = 1\)

\(\frac{x – y}{xy} = 1\)

Vì \(x, y \neq 0\) nên \(xy \neq 0\). Nhân cả hai vế với \(xy\), ta được:

\(\boldsymbol{x – y = xy}\) (Đây là một mối quan hệ rất quan trọng mà chúng ta sẽ dùng ở các bước sau).

Bước 2: Phân tích và biến đổi biểu thức \(A\).

Biểu thức \(A\) có dạng tổng hiệu của các phân thức và các số hạng nguyên. Chúng ta sẽ tách các phân thức và nhóm các số hạng lại:

\(A = \frac{x-1}{y} – \frac{y-1}{x} – x – y\)

Tách từng phân số ra:

\(A = \left(\frac{x}{y} – \frac{1}{y}\right) – \left(\frac{y}{x} – \frac{1}{x}\right) – x – y\)

Tháo dấu ngoặc và đổi dấu các số hạng bên trong:

\(A = \frac{x}{y} – \frac{1}{y} – \frac{y}{x} + \frac{1}{x} – x – y\)

Bước 3: Nhóm các số hạng và sử dụng điều kiện đã cho.

Chúng ta thấy xuất hiện các số hạng \(\frac{1}{x}\) và \(\frac{1}{y}\). Hãy nhóm chúng lại:

\(A = \left(\frac{1}{x} – \frac{1}{y}\right) + \left(\frac{x}{y} – \frac{y}{x}\right) – x – y\)

Dựa vào điều kiện đã cho là \(\frac{1}{y} – \frac{1}{x} = 1\), chúng ta có thể suy ra:

\(\frac{1}{x} – \frac{1}{y} = – \left(\frac{1}{y} – \frac{1}{x}\right) = -1\)

Vậy, biểu thức \(A\) trở thành:

\(A = (-1) + \left(\frac{x}{y} – \frac{y}{x}\right) – x – y\)

\(A = -1 + \frac{x}{y} – \frac{y}{x} – x – y\)

Bây giờ, chúng ta cần xử lý phần \(\frac{x}{y} – \frac{y}{x}\). Hãy quy đồng mẫu số:

\(\frac{x}{y} – \frac{y}{x} = \frac{x \cdot x}{y \cdot x} – \frac{y \cdot y}{x \cdot y} = \frac{x^2}{xy} – \frac{y^2}{xy} = \frac{x^2 – y^2}{xy}\)

Chúng ta biết rằng \(x^2 – y^2\) là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, có thể phân tích thành \((x – y)(x + y)\).

Vậy, \(\frac{x^2 – y^2}{xy} = \frac{(x – y)(x + y)}{xy}\)

Ở Bước 1, chúng ta đã rút gọn được \(\boldsymbol{x – y = xy}\). Hãy thay thế vào đây:

\(\frac{(x – y)(x + y)}{xy} = \frac{(xy)(x + y)}{xy}\)

Vì \(xy \neq 0\) (do \(x, y \neq 0\)), chúng ta có thể rút gọn \(xy\) ở tử và mẫu:

\(\frac{(xy)(x + y)}{xy} = x + y\)

Vậy, \(\frac{x}{y} – \frac{y}{x} = x + y\).

Bước 4: Thay kết quả này vào biểu thức \(A\) và hoàn thành phép tính.

Từ biểu thức \(A = -1 + \left(\frac{x}{y} – \frac{y}{x}\right) – x – y\), chúng ta thay \(\frac{x}{y} – \frac{y}{x} = x + y\):

\(A = -1 + (x + y) – x – y\)

Tháo dấu ngoặc:

\(A = -1 + x + y – x – y\)

Nhóm các số hạng đồng dạng:

\(A = -1 + (x – x) + (y – y)\)

\(A = -1 + 0 + 0\)

\(A = -1\)

Kết luận:

Vậy, giá trị của biểu thức \(A\) là \(-1\).

Qua bài toán này, các em đã ôn lại được các kiến thức quan trọng như:

• Quy đồng mẫu số phân thức.
• Biến đổi và rút gọn biểu thức đại số.
• Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ (ở đây là hiệu hai bình phương).
• Kỹ năng thay thế giá trị từ điều kiện cho trước vào biểu thức cần tính.

Chúc các em học tốt và luôn tìm thấy niềm vui trong môn Toán!