Bài toán: Hai công nhân cùng làm chung một công việc thì trong 8 giờ sẽ xong công việc. Nếu mỗi người làm một mình, để hoàn thành công việc đó thì người thứ nhất cần nhiều hơn người thứ hai là 12 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc đó.

Chúng ta sẽ đi từng bước để giải bài toán này.

Bước 1: Xác định các đại lượng cần tìm và đặt ẩn.

Đề bài hỏi “nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc đó”.

Gọi thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là \(x\) giờ.

Gọi thời gian để người thứ hai hoàn thành công việc một mình là \(y\) giờ.

Bước 2: Dựa vào các điều kiện của đề bài để thiết lập phương trình.

Điều kiện thứ nhất: “Hai công nhân cùng làm chung một công việc thì trong 8 giờ sẽ xong công việc.”

Nếu người thứ nhất làm một mình thì trong 1 giờ, người đó hoàn thành \(\frac{1}{x}\) công việc.

Nếu người thứ hai làm một mình thì trong 1 giờ, người đó hoàn thành \(\frac{1}{y}\) công việc.

Khi hai người làm chung, trong 1 giờ, họ hoàn thành \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) công việc.

Vì họ làm chung trong 8 giờ thì xong, nên trong 1 giờ, họ hoàn thành \(\frac{1}{8}\) công việc.

Ta có phương trình thứ nhất: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}\) (1)

Điều kiện thứ hai: “Nếu mỗi người làm một mình, để hoàn thành công việc đó thì người thứ nhất cần nhiều hơn người thứ hai là 12 giờ.”

Điều này có nghĩa là thời gian người thứ nhất làm nhiều hơn thời gian người thứ hai là 12 giờ.

Ta có phương trình thứ hai: \(x = y + 12\)

Bước 3: Giải hệ phương trình tìm \(x\) và \(y\).

Ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8} \\ x = y + 12 \end{cases}\)

Thay \(x = y + 12\) vào phương trình (1):

\(\frac{1}{y + 12} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}\)

Quy đồng mẫu số hai phân số bên trái:

\(\frac{y + (y + 12)}{y(y + 12)} = \frac{1}{8}\)

\(\frac{2y + 12}{y^2 + 12y} = \frac{1}{8}\)

Nhân chéo hai vế:

\(8(2y + 12) = 1(y^2 + 12y)\)

\(16y + 96 = y^2 + 12y\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai:

\(y^2 + 12y – 16y – 96 = 0\)

\(y^2 – 4y – 96 = 0\)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai này. Các em có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử.

Chúng ta tìm hai số có tích bằng -96 và tổng bằng -4. Hai số đó là -12 và 8.

Vậy, phương trình có thể viết lại như sau:

\((y – 12)(y + 8) = 0\)

Từ đó, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(y – 12 = 0 \Rightarrow y = 12\)

Trường hợp 2: \(y + 8 = 0 \Rightarrow y = -8\)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện của ẩn và chọn nghiệm hợp lý.

Vì \(y\) là thời gian để người thứ hai hoàn thành công việc, nên \(y\) phải là một giá trị dương.

Do đó, \(y = -8\) bị loại.

Chúng ta chọn \(y = 12\).

Bước 5: Tìm giá trị của ẩn còn lại.

Ta có \(x = y + 12\). Thay \(y = 12\) vào:

\(x = 12 + 12 = 24\)

Bước 6: Kết luận.

Vậy, nếu làm một mình:

Người thứ nhất phải làm trong 24 giờ để xong công việc.

Người thứ hai phải làm trong 12 giờ để xong công việc.

Các em có thể kiểm tra lại kết quả bằng cách:

Năng suất người thứ nhất: \(\frac{1}{24}\) công việc/giờ.

Năng suất người thứ hai: \(\frac{1}{12}\) công việc/giờ.

Năng suất cả hai người làm chung: \(\frac{1}{24} + \frac{1}{12} = \frac{1}{24} + \frac{2}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\) công việc/giờ.

Thời gian cả hai người làm chung là \(\frac{1}{1/8} = 8\) giờ. Kết quả khớp với đề bài.

Thời gian người thứ nhất làm nhiều hơn người thứ hai là \(24 – 12 = 12\) giờ. Kết quả cũng khớp.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!