Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một phương pháp rất thú vị để “đoán nhận” số nghiệm của một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mà không cần phải vẽ đồ thị hay giải hệ phương trình một cách trực tiếp. Đây là một kỹ năng rất quan trọng giúp các em nhanh chóng nhận diện được bản chất của hệ phương trình.

Chúng ta hãy cùng xét một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát như sau:

\(\begin{cases} ax+by=c \quad (1) \\ a’x+b’y=c’ \quad (2) \end{cases}\)

Để xác định số nghiệm của hệ phương trình này mà không cần giải, chúng ta sẽ dựa vào việc so sánh các tỉ số giữa các hệ số \(a, b, c\) và \(a’, b’, c’\).

Có ba trường hợp có thể xảy ra:

Trường hợp 1: Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.
Điều này xảy ra khi tỉ số của các hệ số của \(x\) và \(y\) khác nhau. Tức là:

\(\frac{a}{a’} \neq \frac{b}{b’}\)

Khi đó, hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình cắt nhau tại một điểm duy nhất.

Trường hợp 2: Hệ phương trình vô nghiệm.
Điều này xảy ra khi tỉ số của các hệ số của \(x\) và \(y\) bằng nhau, nhưng lại khác tỉ số của các hệ số tự do. Tức là:

\(\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} \neq \frac{c}{c’}\)

Trong trường hợp này, hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình song song và không trùng nhau.

Trường hợp 3: Hệ phương trình có vô số nghiệm.
Điều này xảy ra khi tất cả các tỉ số của các hệ số đều bằng nhau. Tức là:

\(\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}\)

Khi đó, hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình trùng nhau.

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc này vào hai hệ phương trình mà đề bài đã cho nhé!

Bài giải chi tiết:

1. Xét hệ phương trình thứ nhất:

\(\begin{cases} 3x-y=1 \\ 6x-2y=5 \end{cases}\)

Chúng ta xác định các hệ số:

• Phương trình (1): \(a = 3\), \(b = -1\), \(c = 1\)
• Phương trình (2): \(a’ = 6\), \(b’ = -2\), \(c’ = 5\)

Bây giờ, chúng ta tính các tỉ số:

• Tỉ số của hệ số của \(x\): \(\frac{a}{a’} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
• Tỉ số của hệ số của \(y\): \(\frac{b}{b’} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\)
• Tỉ số của hệ số tự do: \(\frac{c}{c’} = \frac{1}{5}\)

Chúng ta thấy rằng:

\(\frac{a}{a’} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{b}{b’} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{c}{c’} = \frac{1}{5}\)

Từ đó, ta có mối quan hệ:

\(\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} \neq \frac{c}{c’}\) (vì \(\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{1}{5}\))

Kết luận: Theo quy tắc ở Trường hợp 2, hệ phương trình này vô nghiệm.

Giải thích: Hai phương trình biểu diễn hai đường thẳng song song và không trùng nhau, nên chúng không có điểm chung nào.

2. Xét hệ phương trình thứ hai:

\(\begin{cases} 4x-4y=2 \\ -2x+2y=-1 \end{cases}\)

Chúng ta xác định các hệ số:

• Phương trình (1): \(a = 4\), \(b = -4\), \(c = 2\)
• Phương trình (2): \(a’ = -2\), \(b’ = 2\), \(c’ = -1\)

Bây giờ, chúng ta tính các tỉ số:

• Tỉ số của hệ số của \(x\): \(\frac{a}{a’} = \frac{4}{-2} = -2\)
• Tỉ số của hệ số của \(y\): \(\frac{b}{b’} = \frac{-4}{2} = -2\)
• Tỉ số của hệ số tự do: \(\frac{c}{c’} = \frac{2}{-1} = -2\)

Chúng ta thấy rằng:

\(\frac{a}{a’} = -2\)

\(\frac{b}{b’} = -2\)

\(\frac{c}{c’} = -2\)

Từ đó, ta có mối quan hệ:

\(\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}\) (vì \(-2 = -2 = -2\))

Kết luận: Theo quy tắc ở Trường hợp 3, hệ phương trình này có vô số nghiệm.

Giải thích: Hai phương trình biểu diễn cùng một đường thẳng (chúng trùng nhau), do đó mọi điểm nằm trên đường thẳng đó đều là nghiệm của cả hai phương trình.

Hy vọng qua bài học này, các em đã nắm vững cách “đoán nhận” số nghiệm của hệ phương trình mà không cần phải giải chi tiết. Hãy luyện tập thêm để thành thạo kỹ năng này nhé!