Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số. Thầy sẽ hướng dẫn thật chi tiết từng bước để các em có thể nắm vững phương pháp này nhé.

Chúng ta có hệ phương trình sau:

\(\begin{cases} 4x – 3y – 15 = 0 \quad (1)\\4x + y = 19 \quad (2)\end{cases}\)

Mục tiêu của chúng ta là tìm ra giá trị của \(x\) và \(y\) sao cho cả hai phương trình trong hệ đều đúng. Phương pháp cộng đại số dựa trên ý tưởng là biến đổi hệ phương trình sao cho khi cộng hoặc trừ hai phương trình với nhau, một ẩn sẽ bị triệt tiêu.

Bước 1: Chuẩn bị hệ phương trình.

Trước hết, chúng ta cần đưa các phương trình về dạng chuẩn, tức là các hạng tử chứa \(x\) và \(y\) ở vế trái, các hằng số ở vế phải.

Phương trình (1): \(4x – 3y – 15 = 0\)

Chuyển hằng số -15 sang vế phải, ta được:

\(4x – 3y = 15 \quad (1′)\)

Phương trình (2): \(4x + y = 19\)

Phương trình (2) đã ở dạng chuẩn rồi, nên ta giữ nguyên.

Vậy, hệ phương trình của chúng ta bây giờ là:

\(\begin{cases} 4x – 3y = 15 \quad (1′)\\4x + y = 19 \quad (2)\end{cases}\)

Bước 2: Triệt tiêu một ẩn bằng cách cộng hoặc trừ hai phương trình.

Quan sát hệ phương trình mới, chúng ta thấy rằng hệ số của \(x\) ở cả hai phương trình (1′) và (2) đều là 4. Điều này rất thuận lợi cho việc triệt tiêu ẩn \(x\).

Để triệt tiêu \(x\), chúng ta sẽ thực hiện phép trừ phương trình (1′) cho phương trình (2) hoặc ngược lại. Ở đây, thầy sẽ lấy phương trình (1′) trừ đi phương trình (2).

Lấy vế trái của (1′) trừ vế trái của (2): \((4x – 3y) – (4x + y)\)

Lấy vế phải của (1′) trừ vế phải của (2): \(15 – 19\)

Ghép lại, ta có phương trình mới:

\((4x – 3y) – (4x + y) = 15 – 19\)

Bây giờ, chúng ta tiến hành rút gọn phương trình này:

\(4x – 3y – 4x – y = -4\)

Nhóm các hạng tử giống nhau lại:

\((4x – 4x) + (-3y – y) = -4\)

\(0x – 4y = -4\)

\(-4y = -4\)

Từ đây, chúng ta dễ dàng tìm được giá trị của \(y\):

\(y = \frac{-4}{-4}\)

\(y = 1\)

Bước 3: Tìm giá trị của ẩn còn lại.

Sau khi tìm được \(y = 1\), chúng ta sẽ thay giá trị này vào một trong hai phương trình ban đầu (hoặc phương trình (1′) hoặc (2)) để tìm \(x\). Thầy sẽ chọn thay vào phương trình (2) vì nó có vẻ đơn giản hơn.

Phương trình (2) là: \(4x + y = 19\)

Thay \(y = 1\) vào phương trình (2):

\(4x + 1 = 19\)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình này để tìm \(x\):

\(4x = 19 – 1\)

\(4x = 18\)

\(x = \frac{18}{4}\)

\(x = \frac{9}{2}\)

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả.

Để chắc chắn rằng chúng ta đã giải đúng, chúng ta cần thay cặp giá trị \(x = \frac{9}{2}\) và \(y = 1\) vào cả hai phương trình ban đầu để xem chúng có thỏa mãn hay không.

Kiểm tra với phương trình (1): \(4x – 3y – 15 = 0\)

Thay \(x = \frac{9}{2}\) và \(y = 1\) vào:

\(4 \left(\frac{9}{2}\right) – 3(1) – 15\)

\(\frac{36}{2} – 3 – 15\)

\(18 – 3 – 15\)

\(15 – 15 = 0\)

Phương trình (1) thỏa mãn.

Kiểm tra với phương trình (2): \(4x + y = 19\)

Thay \(x = \frac{9}{2}\) và \(y = 1\) vào:

\(4 \left(\frac{9}{2}\right) + 1\)

\(\frac{36}{2} + 1\)

\(18 + 1 = 19\)

Phương trình (2) cũng thỏa mãn.

Kết luận:

Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{9}{2}\) và \(y = 1\).

Chúng ta có thể viết tập nghiệm của hệ phương trình là: \(S = \left\{ \left( \frac{9}{2}; 1 \right) \right\}\).

Các em thấy đó, phương pháp cộng đại số thật hữu ích phải không nào? Quan trọng là các em phải quan sát kỹ hệ phương trình để có thể biến đổi sao cho thuận tiện nhất trong việc triệt tiêu ẩn.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy nhé!