Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán về tìm số tự nhiên dựa trên các điều kiện cho trước. Đây là dạng bài khá phổ biến và yêu cầu các em biết cách biểu diễn số, lập hệ phương trình và giải hệ phương trình.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài 1.1

Đề bài: N là một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng các chữ số của N bằng 6. Nếu thêm vào N 18 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm N.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đặt ẩn và biểu diễn số

Gọi số tự nhiên N cần tìm là \( \overline{ab} \), trong đó \( a \) là chữ số hàng chục và \( b \) là chữ số hàng đơn vị.

• Điều kiện: \( a \in \{1, 2, …, 9\} \) và \( b \in \{0, 1, …, 9\} \).
• Số N được biểu diễn dưới dạng: \( N = 10a + b \).

Bước 2: Lập các phương trình từ đề bài

Theo đề bài, chúng ta có hai thông tin chính:

1. “Tổng các chữ số của N bằng 6.”

   \( a + b = 6 \) (Phương trình 1)

2. “Nếu thêm vào N 18 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại.”

   Số mới khi đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị là \( \overline{ba} \), được biểu diễn là \( 10b + a \).

   Vậy, ta có phương trình:

   \( N + 18 = 10b + a \)

   \( (10a + b) + 18 = 10b + a \) (Phương trình 2)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Chúng ta có hệ phương trình gồm hai ẩn \( a \) và \( b \):

\( \left\{ \begin{array}{l} a + b = 6 \quad (1) \\ 10a + b + 18 = 10b + a \quad (2) \end{array} \right. \)

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \( b \) theo \( a \):

\( b = 6 – a \)

Thay \( b = 6 – a \) vào phương trình (2):

\( 10a + (6 – a) + 18 = 10(6 – a) + a \)

\( 9a + 24 = 60 – 10a + a \)

\( 9a + 24 = 60 – 9a \)

Chuyển các số hạng chứa \( a \) về một vế và các hằng số về vế còn lại:

\( 9a + 9a = 60 – 24 \)

\( 18a = 36 \)

\( a = \frac{36}{18} \)

\( a = 2 \)

Sau khi tìm được \( a = 2 \), ta thay giá trị của \( a \) vào phương trình \( b = 6 – a \) để tìm \( b \):

\( b = 6 – 2 \)

\( b = 4 \)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Ta tìm được \( a = 2 \) và \( b = 4 \).

• Chữ số hàng chục \( a = 2 \) thỏa mãn \( 1 \le a \le 9 \).
• Chữ số hàng đơn vị \( b = 4 \) thỏa mãn \( 0 \le b \le 9 \).

Vậy số tự nhiên N là \( \overline{ab} = 24 \).

Kiểm tra lại:

• Tổng các chữ số của N: \( 2 + 4 = 6 \) (Đúng).
• Nếu thêm vào N 18 đơn vị: \( 24 + 18 = 42 \).
• Số thu được cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại: \( \overline{ba} = 42 \) (Đúng).

Vậy số cần tìm là 24.

Bài 1.2

Đề bài: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng chục là 4, nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số giảm đi 99 đơn vị.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đặt ẩn và biểu diễn số

Gọi số tự nhiên cần tìm là \( \overline{abc} \), trong đó \( a \) là chữ số hàng trăm, \( b \) là chữ số hàng chục và \( c \) là chữ số hàng đơn vị.

• Điều kiện: \( a \in \{1, 2, …, 9\} \), \( b \in \{0, 1, …, 9\} \) và \( c \in \{0, 1, …, 9\} \).
• Số \( \overline{abc} \) được biểu diễn dưới dạng: \( 100a + 10b + c \).

Bước 2: Lập các phương trình từ đề bài

Theo đề bài, chúng ta có ba thông tin chính:

1. “Tổng các chữ số bằng 17.”

   \( a + b + c = 17 \) (Phương trình 1)

2. “Chữ số hàng chục là 4.”

   \( b = 4 \) (Phương trình 2)

3. “Nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số giảm đi 99 đơn vị.”

   Số ban đầu là \( 100a + 10b + c \).

   Khi đổi chỗ chữ số hàng trăm và hàng đơn vị, ta được số mới là \( \overline{cba} \), được biểu diễn là \( 100c + 10b + a \).

   Số ban đầu giảm đi 99 đơn vị, nghĩa là:

   \( (100a + 10b + c) – (100c + 10b + a) = 99 \) (Phương trình 3)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Chúng ta có hệ phương trình:

\( \left\{ \begin{array}{l} a + b + c = 17 \quad (1) \\ b = 4 \quad (2) \\ (100a + 10b + c) – (100c + 10b + a) = 99 \quad (3) \end{array} \right. \)

Trước hết, ta đơn giản hóa phương trình (3):

\( 100a + 10b + c – 100c – 10b – a = 99 \)

\( (100a – a) + (10b – 10b) + (c – 100c) = 99 \)

\( 99a – 99c = 99 \)

Chia cả hai vế cho 99:

\( a – c = 1 \) (Phương trình 3′)

Bây giờ, ta thay \( b = 4 \) (từ Phương trình 2) vào Phương trình 1:

\( a + 4 + c = 17 \)

\( a + c = 17 – 4 \)

\( a + c = 13 \) (Phương trình 1′)

Ta có hệ phương trình mới với hai ẩn \( a \) và \( c \):

\( \left\{ \begin{array}{l} a + c = 13 \quad (1′) \\ a – c = 1 \quad (3′) \end{array} \right. \)

Cộng hai phương trình (1′) và (3′) với nhau:

\( (a + c) + (a – c) = 13 + 1 \)

\( 2a = 14 \)

\( a = \frac{14}{2} \)

\( a = 7 \)

Thay \( a = 7 \) vào phương trình (1′) (hoặc (3′)), ta tìm được \( c \):

\( 7 + c = 13 \)

\( c = 13 – 7 \)

\( c = 6 \)

Vậy ta có các chữ số: \( a = 7 \), \( b = 4 \), \( c = 6 \).

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Ta tìm được \( a = 7 \), \( b = 4 \) và \( c = 6 \).

• Chữ số hàng trăm \( a = 7 \) thỏa mãn \( 1 \le a \le 9 \).
• Chữ số hàng chục \( b = 4 \) thỏa mãn \( 0 \le b \le 9 \).
• Chữ số hàng đơn vị \( c = 6 \) thỏa mãn \( 0 \le c \le 9 \).

Vậy số tự nhiên cần tìm là \( \overline{abc} = 746 \).

Kiểm tra lại:

• Tổng các chữ số: \( 7 + 4 + 6 = 17 \) (Đúng).
• Chữ số hàng chục là 4 (Đúng).
• Đổi chỗ chữ số hàng trăm và hàng đơn vị: số ban đầu là 746, số mới là 647.
• Hiệu hai số: \( 746 – 647 = 99 \) (Đúng).

Vậy số cần tìm là 746.

Thầy/Cô hy vọng các em đã hiểu rõ cách làm của hai bài toán này. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức nhé!