Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán phương trình nhìn có vẻ hơi “cồng kềnh” một chút, nhưng nếu chúng ta biết cách biến đổi hợp lý, bài toán sẽ trở nên rất đơn giản và quen thuộc. Phương trình của chúng ta là:

\((x^2 – 5x)^2 – 6(x^2 – 5x) + 5 = 0\)

Các em hãy chú ý quan sát nhé!

Bước 1: Đặt ẩn phụ để đơn giản hóa phương trình

Các em có nhận thấy có một biểu thức lặp đi lặp lại trong phương trình không? Đó chính là \((x^2 – 5x)\). Để làm cho phương trình của chúng ta gọn gàng hơn, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt \(y = x^2 – 5x\)

Khi đó, phương trình ban đầu sẽ trở thành một phương trình bậc hai rất quen thuộc theo ẩn \(y\):

\(y^2 – 6y + 5 = 0\)

Bước 2: Giải phương trình bậc hai theo ẩn \(y\)

Đây là một phương trình bậc hai cơ bản. Chúng ta có thể giải nó bằng cách sử dụng công thức nghiệm (Delta) hoặc nhẩm nghiệm nếu phương trình đặc biệt.

Trong trường hợp này, chúng ta thấy rằng tổng các hệ số \(a+b+c = 1 + (-6) + 5 = 0\). Đây là một trường hợp đặc biệt của phương trình bậc hai, khi tổng các hệ số bằng 0, thì phương trình có hai nghiệm là \(y_1 = 1\) và \(y_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5\).

Hoặc, các em có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử:

\(y^2 – y – 5y + 5 = 0\)

\(y(y – 1) – 5(y – 1) = 0\)

\((y – 1)(y – 5) = 0\)

Từ đây, chúng ta suy ra:

\(y – 1 = 0 \Rightarrow y = 1\)
Hoặc
\(y – 5 = 0 \Rightarrow y = 5\)

Bước 3: Thay trở lại ẩn \(x\) và giải các phương trình bậc hai

Chúng ta đã tìm được hai giá trị của \(y\). Bây giờ, chúng ta sẽ thay ngược trở lại vào biểu thức đặt ẩn phụ \(y = x^2 – 5x\) để tìm giá trị của \(x\).

Trường hợp 1: Với \(y = 1\)

Chúng ta có phương trình:
\(x^2 – 5x = 1\)
Chuyển 1 sang vế trái để được phương trình bậc hai hoàn chỉnh:
\(x^2 – 5x – 1 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai với \(a=1, b=-5, c=-1\). Tính biệt thức Delta (\(\Delta\)):
\(\Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4(1)(-1) = 25 + 4 = 29\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{29}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2}\)

Vậy, chúng ta có hai nghiệm là:
\(x_1 = \frac{5 + \sqrt{29}}{2}\)
\(x_2 = \frac{5 – \sqrt{29}}{2}\)

Trường hợp 2: Với \(y = 5\)

Chúng ta có phương trình:
\(x^2 – 5x = 5\)
Chuyển 5 sang vế trái:
\(x^2 – 5x – 5 = 0\)

Đây cũng là một phương trình bậc hai với \(a=1, b=-5, c=-5\). Tính biệt thức Delta (\(\Delta\)):
\(\Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4(1)(-5) = 25 + 20 = 45\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt. Chúng ta có thể rút gọn \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\):
\(x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{45}}{2(1)} = \frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2}\)

Vậy, chúng ta có thêm hai nghiệm là:
\(x_3 = \frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}\)
\(x_4 = \frac{5 – 3\sqrt{5}}{2}\)

Bước 4: Kết luận các nghiệm của phương trình

Sau khi giải qua hai trường hợp, chúng ta thấy phương trình ban đầu có tổng cộng 4 nghiệm:

Các nghiệm của phương trình là:
\(x_1 = \frac{5 + \sqrt{29}}{2}\)
\(x_2 = \frac{5 – \sqrt{29}}{2}\)
\(x_3 = \frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}\)
\(x_4 = \frac{5 – 3\sqrt{5}}{2}\)

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách xử lý các dạng phương trình có cấu trúc phức tạp bằng cách đặt ẩn phụ. Đây là một kỹ thuật rất hữu ích trong Toán học đấy!

Chúc các em học tốt!