Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán hình học liên quan đến đường tròn, một chủ đề rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta.

Đề bài: Trên đường tròn \((O;R )\) lấy hai điểm \(A, B\) sao cho \(AB = R\sqrt{2}\). Gọi \(M\) là điểm chính giữa cung nhỏ \(AB.\) Tính độ dài \(AM.\)

Chúng ta hãy cùng phân tích và giải bài toán này nhé!

Phân tích đề bài và vẽ hình (trong tưởng tượng hoặc nháp):

• Chúng ta có đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\).
• Hai điểm \(A, B\) nằm trên đường tròn, tạo thành dây cung \(AB\) có độ dài là \(R\sqrt{2}\).
• \(M\) là điểm chính giữa cung nhỏ \(AB\). Điều này rất quan trọng, nó cho chúng ta biết \(M\) chia cung nhỏ \(AB\) thành hai cung bằng nhau là cung \(AM\) và cung \(MB\). Từ đó suy ra tia \(OM\) là tia phân giác của góc \(\angle AOB\).
• Yêu cầu: Tính độ dài đoạn thẳng \(AM\).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định số đo góc ở tâm \(\angle AOB\)

Xét tam giác \(\triangle AOB\) có:

• \(OA = R\) (vì \(OA\) là bán kính của đường tròn \((O;R)\)).
• \(OB = R\) (vì \(OB\) là bán kính của đường tròn \((O;R)\)).
• \(AB = R\sqrt{2}\) (theo giả thiết của đề bài).

Để xác định góc \(\angle AOB\), chúng ta có thể kiểm tra xem \(\triangle AOB\) có phải là tam giác vuông hay không bằng cách sử dụng định lý Py-ta-go đảo:

Ta tính tổng bình phương hai cạnh \(OA\) và \(OB\):

\(OA^2 + OB^2 = R^2 + R^2 = 2R^2\).

Ta tính bình phương cạnh \(AB\):

\(AB^2 = (R\sqrt{2})^2 = R^2 \cdot 2 = 2R^2\).

Vì \(OA^2 + OB^2 = AB^2\) (cùng bằng \(2R^2\)), theo định lý Py-ta-go đảo, \(\triangle AOB\) là tam giác vuông tại \(O\).

Do đó, \(\angle AOB = 90^\circ\).

Bước 2: Xác định số đo góc \(\angle AOM\)

Theo đề bài, \(M\) là điểm chính giữa cung nhỏ \(AB\).

Tính chất của điểm chính giữa cung là tia nối tâm với điểm đó sẽ là tia phân giác của góc ở tâm chắn cung đó.

Vì vậy, \(OM\) là tia phân giác của góc \(\angle AOB\).

Suy ra, \(\angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB\).

Thay \(\angle AOB = 90^\circ\) (đã tính ở Bước 1) vào biểu thức trên, ta được:

\(\angle AOM = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ\).

Bước 3: Tính độ dài \(AM\)

Xét tam giác \(\triangle AOM\):

• Ta có \(OA = R\) (bán kính của đường tròn).
• Ta có \(OM = R\) (bán kính của đường tròn).
• Ta đã xác định được \(\angle AOM = 45^\circ\) (ở Bước 2).

Tam giác \(\triangle AOM\) là tam giác cân tại \(O\) vì \(OA = OM = R\). Để tính độ dài cạnh \(AM\), chúng ta có thể áp dụng Định lý Côsin trong \(\triangle AOM\).

Theo Định lý Côsin, ta có công thức:

\(AM^2 = OA^2 + OM^2 – 2 \cdot OA \cdot OM \cdot \cos(\angle AOM)\)

Thay các giá trị đã biết vào công thức này:

\(AM^2 = R^2 + R^2 – 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(45^\circ)\)

Chúng ta biết \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Thay giá trị này vào:

\(AM^2 = 2R^2 – 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(AM^2 = 2R^2 – R^2\sqrt{2}\)

Đặt \(R^2\) làm thừa số chung:

\(AM^2 = R^2(2 – \sqrt{2})\)

Để tìm \(AM\), chúng ta lấy căn bậc hai của cả hai vế (vì độ dài đoạn thẳng phải là một số dương):

\(AM = \sqrt{R^2(2 – \sqrt{2})}\)

\(AM = R\sqrt{2 – \sqrt{2}}\)

Vậy, độ dài đoạn thẳng \(AM\) là \(R\sqrt{2 – \sqrt{2}}\).

Kết luận:

Chúng ta đã sử dụng các kiến thức cơ bản về đường tròn (bán kính, dây cung, góc ở tâm, điểm chính giữa cung) và các định lý trong tam giác (định lý Py-ta-go đảo, định lý Côsin) để giải quyết bài toán này một cách chi tiết. Hãy nhớ rằng việc phân tích kỹ đề bài, vẽ hình (nếu cần), và nắm vững các định nghĩa, định lý là chìa khóa để giải toán hình học hiệu quả nhé các em!

Chúc các em luôn học tốt và yêu thích môn Toán!