Xin chào các em học sinh lớp 7!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị về số tự nhiên. Các em hãy tập trung và chú ý lắng nghe nhé.

Đề bài: Cho các số tự nhiên khác không \(a,b,c\) thỏa mãn đẳng thức \( 2a^a + b^b = 3c^c.\) Hãy tính giá trị của biểu thức \(3667^{(a-b)^2} + 6736^{(c-a)^2} + 6677^{(b-c)^2}\).

Phân tích bài toán:

Đầu tiên, chúng ta cần xem xét kỹ đẳng thức đã cho: \( 2a^a + b^b = 3c^c.\)

Các biến \(a,b,c\) thuộc tập hợp số tự nhiên khác không, tức là \(a, b, c \in \{1, 2, 3, …\}\).

Chúng ta sẽ thử các giá trị nhỏ của \(a, b, c\) để tìm ra mối quan hệ giữa chúng.

Thử với các giá trị nhỏ:

Xét trường hợp đơn giản nhất: \(a=1\).

Khi đó, đẳng thức trở thành: \( 2 \cdot 1^1 + b^b = 3c^c \)

\( 2 + b^b = 3c^c \)

Bây giờ, chúng ta thử tiếp với \(b=1\).

Đẳng thức trở thành: \( 2 + 1^1 = 3c^c \)

\( 2 + 1 = 3c^c \)

\( 3 = 3c^c \)

Chia cả hai vế cho 3, ta được: \( 1 = c^c \).

Để \( c^c = 1 \), với \(c\) là số tự nhiên khác không, chúng ta có hai khả năng:

1. \(c = 1\) và số mũ là 0. Nhưng \(c\) khác không, nên \(c \neq 0\).

2. Cơ số là 1. Vậy \(c=1\).

Nếu \(c=1\), thì \(1^1 = 1\). Điều này thỏa mãn.

Vậy, chúng ta tìm được một bộ ba số \(a=1, b=1, c=1\) thỏa mãn đẳng thức \( 2a^a + b^b = 3c^c \).

Kiểm tra lại: \( 2 \cdot 1^1 + 1^1 = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3 \).

Và \( 3c^c = 3 \cdot 1^1 = 3 \cdot 1 = 3 \).

Đẳng thức \(3=3\) được thỏa mãn.

Tìm các bộ ba số khác (nếu có):

Chúng ta thử xem liệu có các bộ ba số nào khác không.

Xét trường hợp \(a=1\) và \(b=2\).

Đẳng thức trở thành: \( 2 + 2^2 = 3c^c \)

\( 2 + 4 = 3c^c \)

\( 6 = 3c^c \)

Chia cả hai vế cho 3, ta được: \( 2 = c^c \).

Với \(c\) là số tự nhiên khác không, không có giá trị nào của \(c\) mà \(c^c = 2\).

Xét trường hợp \(a=2\).

Đẳng thức trở thành: \( 2 \cdot 2^2 + b^b = 3c^c \)

\( 2 \cdot 4 + b^b = 3c^c \)

\( 8 + b^b = 3c^c \)

Nếu \(b=1\), ta có: \( 8 + 1^1 = 3c^c \)

\( 8 + 1 = 3c^c \)

\( 9 = 3c^c \)

Chia cả hai vế cho 3, ta được: \( 3 = c^c \).

Không có số tự nhiên \(c\) nào mà \(c^c = 3\).

Nếu \(b=2\), ta có: \( 8 + 2^2 = 3c^c \)

\( 8 + 4 = 3c^c \)

\( 12 = 3c^c \)

Chia cả hai vế cho 3, ta được: \( 4 = c^c \).

Không có số tự nhiên \(c\) nào mà \(c^c = 4\).

Chúng ta có thể nhận thấy rằng hàm \(f(x) = x^x\) tăng rất nhanh với \(x \ge 1\).

Nếu \(a, b, c\) đều lớn hơn 1, thì \(a^a, b^b, c^c\) sẽ là những số tương đối lớn.

Thử lại với \(a=1, b=1, c=1\) ta thấy nó thỏa mãn. Có lẽ đây là bộ ba số duy nhất có thể tìm được một cách “dễ dàng” trong phạm vi các số nhỏ.

Trong các bài toán dạng này, thường chỉ có một hoặc một vài bộ nghiệm “đơn giản” mà ta cần tìm.

Giả sử \(a=1, b=1, c=1\) là nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện (hoặc là nghiệm mà đề bài muốn chúng ta sử dụng).

Tính giá trị biểu thức:

Biểu thức cần tính là: \(3667^{(a-b)^2} + 6736^{(c-a)^2} + 6677^{(b-c)^2}\).

Thay \(a=1, b=1, c=1\) vào biểu thức:

Số mũ thứ nhất: \( (a-b)^2 = (1-1