Bài toán: Có hai chuồng thỏ. Chuồng thứ nhất có 5 thỏ đen và 10 thỏ trắng. Chuồng thứ hai có 7 thỏ đen và 3 thỏ trắng. Từ chuồng thứ nhất, bắt ngẫu nhiên 1 con thỏ cho vào chuồng thứ hai. Sau đó bắt ngẫu nhiên một con thỏ ở chuồng thứ hai ra thì thấy con thỏ này là thỏ trắng. Tính xác suất để con thỏ bắt ra này thuộc chuồng 1.

Phân tích bài toán:

Chúng ta cần tính xác suất có điều kiện. Sự kiện chúng ta quan tâm là con thỏ bắt ra từ chuồng thứ hai thuộc về chuồng thứ nhất. Tuy nhiên, chúng ta biết rằng con thỏ bắt ra là thỏ trắng. Do đó, chúng ta cần sử dụng công thức xác suất có điều kiện.

Trước hết, hãy xác định các sự kiện:

* Gọi \(C_1\) là chuồng thứ nhất.
* Gọi \(C_2\) là chuồng thứ hai.
* Số thỏ ban đầu ở \(C_1\): 5 đen, 10 trắng. Tổng cộng 15 con.
* Số thỏ ban đầu ở \(C_2\): 7 đen, 3 trắng. Tổng cộng 10 con.

* Sự kiện A: Bắt ngẫu nhiên 1 con thỏ từ \(C_1\) cho vào \(C_2\).
* Sự kiện B: Sau khi thêm thỏ từ \(C_1\) vào \(C_2\), bắt ngẫu nhiên 1 con thỏ ở \(C_2\) ra thì thấy con thỏ này là thỏ trắng.
* Sự kiện C: Con thỏ bắt ra từ \(C_2\) thuộc về chuồng 1 (tức là con thỏ ban đầu được chuyển từ \(C_1\) sang \(C_2\)).

Chúng ta cần tính xác suất \(P(C | B)\), tức là xác suất con thỏ bắt ra từ \(C_2\) thuộc chuồng 1, biết rằng con thỏ đó là thỏ trắng.

Theo công thức xác suất có điều kiện, ta có:
\(P(C | B) = \frac{P(C \cap B)}{P(B)}\)

Tuy nhiên, cách tiếp cận này có thể hơi phức tạp. Chúng ta sẽ sử dụng định lý Bayes để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả hơn.

Áp dụng Định lý Bayes:

Chúng ta cần xác định các trường hợp có thể xảy ra cho con thỏ được chuyển từ \(C_1\) sang \(C_2\).

* Trường hợp 1 (T1): Con thỏ được chuyển từ \(C_1\) sang \(C_2\) là thỏ đen.
* Trường hợp 2 (T2): Con thỏ được chuyển từ \(C_1\) sang \(C_2\) là thỏ trắng.

Chúng ta biết rằng con thỏ bắt ra từ \(C_2\) là thỏ trắng (sự kiện B). Chúng ta muốn tính xác suất con thỏ đó là thỏ ban đầu được chuyển từ \(C_1\) sang \(C_2\).

Ta có thể định nghĩa lại các sự kiện:
* E: Con thỏ bắt ra từ \(C_2\) là thỏ trắng.
* F: Con thỏ được chuyển từ \(C_1\) sang \(C_2\) là thỏ đen.
* G: Con thỏ được chuyển từ \(C_1\) sang \(C_2\) là thỏ trắng.

Ta cần tính xác suất \(P(G | E)\). Theo định lý Bayes:
\(P(G | E) = \frac{P(E | G) * P(G)}{P(E)}\)

Trước tiên, ta tính các xác suất thành phần:

1. Xác suất ban đầu của việc chuyển thỏ:

* Xác suất chuyển thỏ đen từ \(C_1\) sang \(C_2\):
\(P(F) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\)
* Xác suất chuyển thỏ trắng từ \(C_1\) sang \(C_2\):
\(P(G) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\)

2. Xác suất bắt được thỏ trắng từ \(C_2\) dựa trên việc chuyển thỏ:

* Nếu chuyển thỏ đen từ \(C_1\) sang \(C_2\) (xảy ra sự kiện F):
Sau khi chuyển, \(C_2\) có: 7 đen + 1 đen = 8 thỏ đen, và 3 thỏ trắng. Tổng cộng 11 con.
Xác suất bắt được thỏ trắng từ \(C_2\) trong trường hợp này là:
\(P(E | F) = \frac{3}{11}\)

* Nếu chuyển thỏ trắng từ \(C_1\) sang \(C_2\) (xảy ra sự kiện G):
Sau khi chuyển, \(C_2\) có: 7 thỏ đen, và 3 trắng + 1 trắng = 4 thỏ trắng. Tổng cộng 11 con.
Xác suất bắt được thỏ trắng từ \(C_2\) trong trường hợp này là:
\(P(E | G) = \frac{4}{11}\)

3. Tính xác suất tổng thể của sự kiện E (bắt được thỏ trắng từ \(C_2\)):

Sử dụng công thức xác suất toàn phần:
\(P(E) = P(E | F) P(F) + P(E | G) P(G)\)
\(P(E) = (\frac{3}{11} \frac{1}{3}) + (\frac{4}{11} \frac{2}{3})\)
\(P(E) = \frac{3}{33} + \frac{8}{33}\)
\(P(E) = \frac{11}{33} = \frac{1}{3}\)

4. Tính xác suất cần tìm: \(P(G | E)\)

Bây giờ, chúng ta áp dụng định lý Bayes:
\(P(G | E) = \frac{P(E | G) * P(G)}{P(E)}\)
\(P(G | E) = \frac{\frac{4}{11} * \frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}\)
\(P(G | E) = \frac{\frac{8}{33}}{\frac{1}{3}}\)
\(P(G | E) = \frac{8}{33} * 3\)
\(P(G | E) = \frac{24}{33}\)
\(P(G | E) = \frac{8}{11}\)

Kết luận:

Xác suất để con thỏ trắng bắt ra từ chuồng thứ hai thuộc về chuồng thứ nhất là \( \frac{8}{11} \).

Các em có câu hỏi nào về bài toán này không? Hãy mạnh dạn đặt câu hỏi để chúng ta cùng làm rõ nhé.