Xin chào các em học sinh lớp 6 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị về phân số tối giản. Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh rằng phân số \(\frac{2n^2+3}{3n^2+5}\) là phân số tối giản với mọi số nguyên n.

Để chứng minh một phân số là tối giản, chúng ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất (ƯCLN) của tử số và mẫu số chỉ là 1. Nói cách khác, nếu ta gọi tử số là A và mẫu số là B, thì ƯCLN(A, B) = 1.

Trong bài toán này, ta có:

Tử số: \(A = 2n^2 + 3\)

Mẫu số: \(B = 3n^2 + 5\)

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt d là một ước chung của tử số và mẫu số. Nếu ta chứng minh được d chỉ có thể là 1 hoặc -1 (do n là số nguyên), thì phân số đã cho sẽ là tối giản.

Giả sử d là một ước chung của \(2n^2 + 3\) và \(3n^2 + 5\). Điều này có nghĩa là:

\(2n^2 + 3\) chia hết cho d

\(3n^2 + 5\) chia hết cho d

Nếu d chia hết cho cả hai biểu thức trên, thì d cũng sẽ chia hết cho bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của chúng. Để loại bỏ phần n^2, chúng ta sẽ nhân biểu thức thứ nhất với 3 và biểu thức thứ hai với 2.

Ta có:

\(3 \times (2n^2 + 3) = 6n^2 + 9\). Biểu thức này cũng chia hết cho d.

\(2 \times (3n^2 + 5) = 6n^2 + 10\). Biểu thức này cũng chia hết cho d.

Bây giờ, vì cả hai biểu thức \(6n^2 + 9\) và \(6n^2 + 10\) đều chia hết cho d, nên hiệu của chúng cũng phải chia hết cho d.

Hiệu của hai biểu thức là:

\((6n^2 + 10) – (6n^2 + 9) = 6n^2 + 10 – 6n^2 – 9 = 1\)

Vậy, ta có 1 chia hết cho d.

Điều này có nghĩa là d chỉ có thể là 1 hoặc -1.

Vì d là ước chung của tử số và mẫu số, và d chỉ có thể là 1 hoặc -1, nên ước chung lớn nhất của \(2n^2 + 3\) và \(3n^2 + 5\) là 1 (hoặc -1, tùy thuộc vào cách định nghĩa ƯCLN, nhưng trong trường hợp phân số tối giản, chúng ta thường xét giá trị dương).

Do đó, phân số \(\frac{2n^2+3}{3n^2+5}\) là phân số tối giản với mọi số nguyên n.

Các em thấy đấy, bằng cách sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng và các tính chất của phép chia hết, chúng ta đã giải quyết được bài toán này một cách gọn gàng.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em hãy mạnh dạn hỏi thầy/cô nhé!