Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục những bài toán tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của các biểu thức phân thức. Đây là một dạng toán khá thú vị và đòi hỏi sự khéo léo trong việc biến đổi.

Chúng ta sẽ đi qua từng câu một nhé!

Câu a: Tìm max (hoặc min) của \(A = \frac{2}{6x-5-9x^{2}}\)

Để tìm max hoặc min của biểu thức A, chúng ta sẽ tập trung vào mẫu số. Mẫu số của A là một tam thức bậc hai: \(6x – 5 – 9x^2\). Chúng ta hãy thử biến đổi mẫu số này về dạng bình phương của một hiệu để xem nó có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất hay không.

Ta có:
\(6x – 5 – 9x^2 = -(9x^2 – 6x + 5)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi biểu thức trong ngoặc:
\(9x^2 – 6x + 5 = (3x)^2 – 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 + 4\)
\(9x^2 – 6x + 5 = (3x – 1)^2 + 4\)

Vậy, mẫu số của A là:
\(6x – 5 – 9x^2 = -((3x – 1)^2 + 4)\)
\(6x – 5 – 9x^2 = -(3x – 1)^2 – 4\)

Chúng ta biết rằng \((3x – 1)^2 \ge 0\) với mọi x.
Do đó, \(-(3x – 1)^2 \le 0\).
Suy ra, \(-(3x – 1)^2 – 4 \le -4\).

Như vậy, mẫu số của A luôn nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng -4. Mẫu số này luôn âm.

Bây giờ xét biểu thức A: \(A = \frac{2}{-(3x – 1)^2 – 4}\)

Vì mẫu số luôn âm và có giá trị nhỏ nhất là -4 (khi \((3x-1)^2=0\), tức là \(x=\frac{1}{3}\)), nên để phân số A có giá trị lớn nhất, tử số phải dương (đã là 2) và mẫu số phải âm với giá trị tuyệt đối lớn nhất (tức là mẫu số có giá trị âm nhỏ nhất).

Khi mẫu số bằng -4 (giá trị âm nhỏ nhất), biểu thức A sẽ đạt giá trị lớn nhất.
\(A_{max} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}\)

Giá trị lớn nhất của A là \(-\frac{1}{2}\), đạt được khi \(x = \frac{1}{3}\).

Câu b: Tìm max (hoặc min) của \(B = \frac{4x^2 -6x+1}{(2x+1)^2}\)

Ở câu này, chúng ta sẽ thử khai triển mẫu số và xem liệu có thể biến đổi tử số sao cho xuất hiện nhân tử chung với mẫu số hay không.

Mẫu số là \((2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1\).

Bây giờ, chúng ta hãy thử biểu diễn tử số \(4x^2 – 6x + 1\) theo mẫu số \(4x^2 + 4x + 1\).
Ta có thể viết tử số như sau:
\(4x^2 – 6x + 1 = (4x^2 + 4x + 1) – 10x\)

Vậy, biểu thức B trở thành:
\(B = \frac{(4x^2 + 4x + 1) – 10x}{(2x+1)^2}\)
\(B = \frac{(2x+1)^2 – 10x}{(2x+1)^2}\)
\(B = \frac{(2x+1)^2}{(2x+1)^2} – \frac{10x}{(2x+1)^2}\)
\(B = 1 – \frac{10x}{(2x+1)^2}\)

Để tìm max hoặc min của B, chúng ta cần xem xét biểu thức \(\frac{10x}{(2x+1)^2}\). Tuy nhiên, việc tìm max/min trực tiếp của biểu thức này khá phức tạp.

Chúng ta thử một cách tiếp cận khác. Giả sử B = k, ta sẽ xem xét phương trình với ẩn x.
\(k = \frac{4x^2 -6x+1}{(2x+1)^2}\)
\(k(2x+1)^2 = 4x^2 – 6x + 1\)
\(k(4x^2 + 4x + 1) = 4x^2 – 6x + 1\)
\(4kx^2 + 4kx + k = 4x^2 – 6x + 1\)
\(4kx^2 – 4x^2 + 4kx + 6x + k – 1 = 0\)
\((4k – 4)x^2 + (4k + 6)x + (k – 1) = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai theo x. Để phương trình này có nghiệm thực, biệt thức Delta của nó phải lớn hơn hoặc bằng 0.

Trường hợp 1: \(4k – 4 = 0\), tức là \(k=1\).
Khi \(k=1\), phương trình trở thành:
\((4(1) – 4)x^2 + (4(1) + 6)x + (1 – 1) = 0\)
\(0x^2 + 10x + 0 = 0\)
\(10x = 0 \implies x = 0\).
Vậy, \(k=1\) là một giá trị có thể có của B (khi \(x=0\)).

Trường hợp 2: \(4k – 4 \neq 0\), tức là \(k \neq 1\).
Ta có phương trình bậc hai: \((4k – 4)x^2 + (4k + 6)x + (k – 1) = 0\).
Biệt thức Delta: \(\Delta = (4k + 6)^2 – 4(4k – 4)(k – 1)\)
\(\Delta = (16k^2 + 48k + 36) – 4(4k^2 – 4k – 4k + 4)\)
\(\Delta = 16k^2 + 48k + 36 – 4(4k^2 – 8k + 4)\)
\(\Delta = 16k^2 + 48k + 36 – 16k^2 + 32k – 16\)
\(\Delta = 80k + 20\)

Để phương trình có nghiệm thực, ta cần \(\Delta \ge 0\).
\(80k + 20 \ge 0\)
\(80k \ge -20\)
\(k \ge -\frac{20}{80}\)
\(k \ge -\frac{1}{4}\)

Kết hợp cả hai trường hợp, ta thấy giá trị nhỏ nhất của B là \(-\frac{1}{4}\).

Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất. Hãy xem xét lại biểu thức \(B = 1 – \frac{10x}{(2x+1)^2}\).
Chúng ta biết rằng \(k \ge -\frac{1}{4}\). Điều này cho thấy B có thể nhận các giá trị nhỏ hơn 1.

Để xác định xem có giá trị lớn nhất hay không, chúng ta cần kiểm tra kỹ. Với \(k \ge -\frac{1}{4}\), chúng ta biết rằng B có thể nhận bất kỳ giá trị nào từ \(-\frac{1}{4}\) trở lên. Tuy nhiên, liệu có một giới hạn trên không?

Ta nhận thấy rằng khi \(x \to \infty\), \(B = \frac{4x^2 -6x+1}{4x^2+4x+1} \to \frac{4}{4} = 1\).
Tương tự, khi \(x \to -\infty\), \(B \to 1\).

Ta đã tìm được \(k \ge -\frac{1}{4}\). Điều này có nghĩa là giá trị nhỏ nhất là \(-\frac{1}{4}\).

Để tìm giá trị lớn nhất, chúng ta xem xét khi nào \(\Delta = 80k + 20 = 0\), tức là \(k = -\frac{1}{4}\).
Khi đó, phương trình bậc hai có nghiệm kép:
\((4(-\frac{1}{4}) – 4)x^2 + (4(-\frac{1}{4}) + 6)x + (-\frac{1}{4} – 1) = 0\)
\((-1 – 4)x^2 + (-1 + 6)x + (-\frac{5}{4}) = 0\)
\(-5x^2 + 5x – \frac{5}{4} = 0\)
Nhân cả hai vế với \(-\frac{4}{5}\):
\(4x^2 – 4x + 1 = 0\)
\((2x – 1)^2 = 0\)
\(x = \frac{1}{2}\)

Vậy, giá trị nhỏ nhất của B là \(-\frac{1}{4}\), đạt được khi \(x = \frac{1}{2}\).

Còn về giá trị lớn nhất, chúng ta thấy khi \(x\) tiến ra vô cùng, B tiến về 1. Liệu B có thể lớn hơn 1 không?
Xét \(B-1 = \frac{4x^2 -6x+1}{(2x+1)^2} – 1 = \frac{4x^2 -6x+1 – (2x+1)^2}{(2x+1)^2} = \frac{4x^2 -6x+1 – (4x^2+4x+1)}{(2x+1)^2} = \frac{-10x}{(2x+1)^2}\).
Nếu \(x > 0\), thì \(B-1 < 0\), tức là \(B < 1\). Nếu \(x < 0\), thì \(B-1 > 0\), tức là \(B > 1\).

Điều này có nghĩa là B có thể lớn hơn 1. Tuy nhiên, phương trình bậc hai với \(k \neq 1\) chỉ cho ta điều kiện \(k \ge -\frac{1}{4}\).
Chúng ta đã bỏ sót trường hợp \(k=1\). Khi \(k=1\), ta có \(x=0\).
Hãy kiểm tra giá trị của B tại \(x=0\): \(B = \frac{4(0)^2 – 6(0) + 1}{(2(0)+1)^2} = \frac{1}{1} = 1\).

Vậy, giá trị của B có thể nhận các giá trị \(k \ge -\frac{1}{4}\).
Chúng ta thấy rằng \(B-1 = \frac{-10x}{(2x+1)^2}\).
Nếu \(x > 0\), \(B-1\) âm, tức là \(B < 1\). Nếu \(x < 0\), \(B-1\) dương, tức là \(B > 1\).

Xem xét lại phương trình \((4k – 4)x^2 + (4k + 6)x + (k – 1) = 0\).
Nếu k > 1, thì \(4k-4 > 0\). Biệt thức \(\Delta = 80k + 20 > 0\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Điều này có nghĩa là B có thể nhận các giá trị lớn hơn 1.

Chúng ta cần kiểm tra lại biến đổi của B.
\(B = \frac{4x^2 -6x+1}{(2x+1)^2}\)
Đặt \(y = 2x+1\). Khi đó \(x = \frac{y-1}{2}\).
\(B = \frac{4(\frac{y-1}{2})^2 – 6(\frac{y-1}{2}) + 1}{y^2}\)
\(B = \frac{4\frac{(y-1)^2}{4} – 3(y-1) + 1}{y^2}\)
\(B = \frac{(y^2 – 2y + 1) – 3y + 3 + 1}{y^2}\)
\(B = \frac{y^2 – 5y + 5}{y^2}\)
\(B = 1 – \frac{5}{y} + \frac{5}{y^2}\)

Đặt \(t = \frac{1}{y}\). Ta có \(B = 5t^2 – 5t + 1\).
Đây là một tam thức bậc hai theo t. Đỉnh của parabol này nằm tại \(t = \frac{-(-5)}{2(5)} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\).
Giá trị nhỏ nhất của tam thức là \(5(\frac{1}{2})^2 – 5(\frac{1}{2}) + 1 = 5(\frac{1}{4}) – \frac{5}{2} + 1 = \frac{5}{4} – \frac{10}{4} + \frac{4}{4} = -\frac{1}{4}\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của B là \(-\frac{1}{4}\).

Để tìm giá trị lớn nhất, chúng ta cần xem xét miền giá trị của t.
\(y = 2x+1\). Với mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(2x+1 \neq 0\), \(y\) có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào trừ 0.
Do đó, \(t = \frac{1}{y}\) có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào trừ 0.

Ta có \(B = 5t^2 – 5t + 1\). Đây là một parabol mở lên. Khi \(|t| \to \infty\), \(B \to \infty\).
Do đó, biểu thức B không có giá trị lớn nhất.

Vậy, B chỉ có giá trị nhỏ nhất là \(-\frac{1}{4}\).

Câu c: Tìm max (hoặc min) của \(C = \frac{x}{(x-1)^2}\)

Tương tự như câu b, chúng ta sẽ đặt \(C=k\) và đưa về phương trình bậc hai.
\(k = \frac{x}{(x-1)^2}\)
\(k(x-1)^2 = x\)
\(k(x^2 – 2x + 1) = x\)
\(kx^2 – 2kx + k = x\)
\(kx^2 – 2kx – x + k = 0\)
\(kx^2 – (2k+1)x + k = 0\)

Trường hợp 1: \(k=0\).
Khi \(k=0\), phương trình trở thành \(0x^2 – (0+1)x + 0 = 0 \implies -x = 0 \implies x = 0\).
Vậy \(k=0\) là một giá trị có thể có của C (khi \(x=0\)).

Trường hợp 2: \(k \neq 0\).
Đây là phương trình bậc hai. Để có nghiệm thực, biệt thức Delta phải lớn hơn hoặc bằng 0.
\(\Delta = (-(2k+1))^2 – 4(k)(k)\)
\(\Delta = (2k+1)^2 – 4k^2\)
\(\Delta = (4k^2 + 4k + 1) – 4k^2\)
\(\Delta = 4k + 1\)

Để phương trình có nghiệm, ta cần \(\Delta \ge 0\).
\(4k + 1 \ge 0\)
\(4k \ge -1\)
\(k \ge -\frac{1}{4}\)

Kết hợp cả hai trường hợp, giá trị nhỏ nhất của C là \(-\frac{1}{4}\).

Bây giờ chúng ta kiểm tra giá trị lớn nhất. Khi \(k\) tiến đến vô cùng, chúng ta cần xem xét điều gì xảy ra.
Xét biểu thức C: \(C = \frac{x}{(x-1)^2}\).
Khi \(x \to \infty\), tử số tăng tuyến tính, mẫu số tăng bậc hai, do đó \(C \to 0\).
Khi \(x \to -\infty\), \(C \to 0\).

Tuy nhiên, chúng ta đã tìm được \(k \ge -\frac{1}{4}\). Điều này có nghĩa là C có thể nhận các giá trị không âm.

Giả sử C có giá trị lớn nhất là M.
Ta đã có \(k \ge -\frac{1}{4}\).
Ta cần kiểm tra liệu C có thể nhận bất kỳ giá trị không âm nào không.

Xét \(C – M = 0\) có nghiệm.
Ta thấy rằng khi \(k \neq 0\), \(\Delta = 4k+1\).
Để có nghiệm, \(4k+1 \ge 0\).

Nếu \(k > 0\), thì \(\Delta > 0\), phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Điều này có nghĩa là C có thể nhận bất kỳ giá trị dương nào.

Vậy, biểu thức C không có giá trị lớn nhất. Nó chỉ có giá trị nhỏ nhất là \(-\frac{1}{4}\).

Giá trị nhỏ nhất của C là \(-\frac{1}{4}\).
Giá trị này đạt được khi \(\Delta = 0 \implies 4k+1 = 0 \implies k = -\frac{1}{4}\).
Khi đó, phương trình trở thành:
\(-\frac{1}{4}x^2 – (2(-\frac{1}{4})+1)x – \frac{1}{4} = 0\)
\(-\frac{1}{4}x^2 – (-\frac{1}{2}+1)x – \frac{1}{4} = 0\)
\(-\frac{1}{4}x^2 – \frac{1}{2}x – \frac{1}{4} = 0\)
Nhân cả hai vế với -4:
\(x^2 + 2x + 1 = 0\)
\((x+1)^2 = 0\)
\(x = -1\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của C là \(-\frac{1}{4}\), đạt được khi \(x = -1\).

Câu d: Tìm max (hoặc min) của \(D = \frac{3x^2 -8x+6}{x^2-2x+1}\)

Mẫu số của D là \(x^2 – 2x + 1 = (x-1)^2\). Lưu ý rằng \(x \neq 1\).

Ta sẽ đặt \(D = k\) và đưa về phương trình bậc hai.
\(k = \frac{3x^2 -8x+6}{(x-1)^2}\)
\(k(x-1)^2 = 3x^2 – 8x + 6\)
\(k(x^2 – 2x + 1) = 3x^2 – 8x + 6\)
\(kx^2 – 2kx + k = 3x^2 – 8x + 6\)
\(kx^2 – 3x^2 – 2kx + 8x + k – 6 = 0\)
\((k – 3)x^2 + (8 – 2k)x + (k – 6) = 0\)

Trường hợp 1: \(k – 3 = 0 \implies k = 3\).
Khi \(k=3\), phương trình trở thành:
\((3 – 3)x^2 + (8 – 2(3))x + (3 – 6) = 0\)
\(0x^2 + (8 – 6)x + (-3) = 0\)
\(2x – 3 = 0\)
\(x = \frac{3}{2}\).
Vậy \(k=3\) là một giá trị có thể có của D (khi \(x = \frac{3}{2}\)).

Trường hợp 2: \(k – 3 \neq 0 \implies k \neq 3\).
Đây là phương trình bậc hai. Để có nghiệm thực, biệt thức Delta phải lớn hơn hoặc bằng 0.
\(\Delta = (8 – 2k)^2 – 4(k – 3)(k – 6)\)
\(\Delta = (64 – 32k + 4k^2) – 4(k^2 – 6k – 3k + 18)\)
\(\Delta = 64 – 32k + 4k^2 – 4(k^2 – 9k + 18)\)
\(\Delta = 64 – 32k + 4k^2 – 4k^2 + 36k – 72\)
\(\Delta = 4k – 8\)

Để phương trình có nghiệm, ta cần \(\Delta \ge 0\).
\(4k – 8 \ge 0\)
\(4k \ge 8\)
\(k \ge 2\)

Kết hợp cả hai trường hợp, giá trị nhỏ nhất của D là 2.

Bây giờ chúng ta kiểm tra giá trị lớn nhất.
Chúng ta đã tìm được \(k \ge 2\). Điều này có nghĩa là D có thể nhận các giá trị từ 2 trở lên.
Chúng ta cần xem xét liệu D có thể nhận các giá trị lớn tùy ý không.

Khi \(x \to \infty\), \(D = \frac{3x^2 -8x+6}{x^2-2x+1} \to \frac{3}{1} = 3\).
Khi \(x \to -\infty\), \(D \to 3\).

Ta đã tìm được \(k \ge 2\).
Giá trị nhỏ nhất là 2. Điều này xảy ra khi \(\Delta = 0 \implies 4k – 8 = 0 \implies k = 2\).
Khi đó, phương trình trở thành:
\((2 – 3)x^2 + (8 – 2(2))x + (2 – 6) = 0\)
\(-x^2 + (8 – 4)x + (-4) = 0\)
\(-x^2 + 4x – 4 = 0\)
\(x^2 – 4x + 4 = 0\)
\((x-2)^2 = 0\)
\(x = 2\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của D là 2, đạt được khi \(x = 2\).

Còn về giá trị lớn nhất, chúng ta thấy rằng khi \(x\) tiến ra vô cùng, D tiến về 3.
Ta đã có \(k \ge 2\).
Và ta cũng thấy \(k=3\) là một giá trị có thể đạt được.

Để biểu thức D có giá trị lớn nhất, chúng ta cần xem xét trường hợp \((k-3)x^2 + (8-2k)x + (k-6) = 0\) có nghiệm.
Với \(k \ge 2\), ta có \(\Delta = 4k-8 \ge 0\).
Điều này đảm bảo rằng phương trình luôn có nghiệm thực cho mọi \(k \ge 2\).

Do đó, biểu thức D có thể nhận bất kỳ giá trị nào lớn hơn hoặc bằng 2. Nó không có giá trị lớn nhất.

Tóm lại:
a, \(A\) có giá trị lớn nhất là \(-\frac{1}{2}\).
b, \(B\) có giá trị nhỏ nhất là \(-\frac{1}{4}\).
c, \(C\) có giá trị nhỏ nhất là \(-\frac{1}{4}\).
d, \(D\) có giá trị nhỏ nhất là 2.

Bài học hôm nay đến đây là kết thúc. Các em nhớ ôn tập lại các phương pháp giải nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy. Chúc các em học tốt!