Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về hình thang vuông nhé. Đây là một bài toán đòi hỏi chúng ta phải hiểu rõ về cách “mở rộng” hình thang để tạo thành hình chữ nhật.

Đề bài: Một hình thang vuông có đáy bé bằng 3/5 đáy lớn và chiều cao bằng 23 cm,người ta mở rộng hình thang để được hình chữ nhật thì diện tích của nó tăng thêm 414 m\(\text{2}\) .Hãy tính diện tích hình thang lúc đầu ?

Trước hết, chúng ta hãy cùng phân tích đề bài và hình dung bài toán này nhé:

Phân tích bài toán:

1. Chúng ta có một hình thang vuông. Hình thang vuông là hình thang có một cạnh bên vuông góc với hai đáy, cạnh đó chính là chiều cao của hình thang.

2. Đáy bé bằng \(\frac{3}{5}\) đáy lớn. Đây là một tỉ lệ giữa hai đáy.

3. Chiều cao là \(23 \text{ cm}\).

4. Quan trọng nhất: “người ta mở rộng hình thang để được hình chữ nhật thì diện tích của nó tăng thêm 414 m\(\text{2}\)”. Khi mở rộng một hình thang vuông để thành hình chữ nhật (có chiều rộng là đáy lớn và chiều cao là chiều cao của hình thang), phần diện tích tăng thêm chính là một hình tam giác vuông.

Hãy tưởng tượng như sau: Chúng ta có một hình thang vuông. Nếu chúng ta kéo dài đáy bé cho bằng đáy lớn, sau đó nối điểm cuối của đáy bé đã kéo dài với điểm cuối của đáy lớn, chúng ta sẽ được một hình chữ nhật. Phần diện tích được thêm vào chính là một hình tam giác vuông.

Hình tam giác vuông này có:

• Một cạnh góc vuông là chiều cao của hình thang (\(h\)).
• Cạnh góc vuông còn lại chính là hiệu của đáy lớn và đáy bé (đáy lớn – đáy bé).

Vậy, diện tích tăng thêm 414 m\(\text{2}\) chính là diện tích của hình tam giác vuông đó.

Lưu ý quan trọng về đơn vị: Chiều cao là \(23 \text{ cm}\) nhưng diện tích tăng thêm là \(414 \text{ m}^2\). Để tính toán được, chúng ta cần đưa về cùng một đơn vị đo. Thông thường, trong các bài toán thực tế ở cấp tiểu học, nếu diện tích là m\(\text{2}\) thì các cạnh sẽ là mét. Với chiều cao là \(23 \text{ cm}\) mà diện tích tăng thêm lên tới \(414 \text{ m}^2\) thì các cạnh đáy sẽ rất lớn (hàng nghìn mét). Để bài toán trở nên hợp lý hơn cho cấp lớp 5, cô sẽ giả định rằng chiều cao \(23 \text{ cm}\) thực chất là \(23 \text{ mét}\) (hoặc có thể đề bài có chút nhầm lẫn về đơn vị). Nếu giữ nguyên \(23 \text{ cm}\), kết quả vẫn sẽ ra nhưng các số liệu về cạnh đáy sẽ rất lớn và khó hình dung. Cô sẽ giải theo hướng chiều cao là \(23 \text{ mét}\) nhé các em. Sau khi tìm được các cạnh đáy, cô sẽ kiểm tra lại để đảm bảo tính hợp lý.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định phần diện tích tăng thêm.

Phần diện tích tăng thêm khi mở rộng hình thang vuông để được hình chữ nhật chính là diện tích của một hình tam giác vuông.

Hình tam giác vuông này có:

• Một cạnh góc vuông là chiều cao của hình thang: \(h = 23 \text{ m}\) (theo giả định của cô để bài toán hợp lý).
• Cạnh góc vuông còn lại là hiệu của đáy lớn và đáy bé: \(\text{đáy lớn} – \text{đáy bé}\).

Diện tích của hình tam giác vuông này là \(414 \text{ m}^2\).

Bước 2: Tìm hiệu của đáy lớn và đáy bé.

Công thức tính diện tích hình tam giác vuông là: \(\frac{1}{2} \times \text{cạnh góc vuông 1} \times \text{cạnh góc vuông 2}\).

Trong trường hợp này: \(\frac{1}{2} \times (\text{đáy lớn} – \text{đáy bé}) \times \text{chiều cao} = 414\).

Vậy, \(\frac{1}{2} \times (\text{đáy lớn} – \text{đáy bé}) \times 23 = 414\).

Hiệu của đáy lớn và đáy bé là: \(\left(414 \times 2\right) \div 23\).

Hiệu của đáy lớn và đáy bé là: \(828 \div 23 = 36 \text{ (m)}\).

Bước 3: Tìm độ dài đáy lớn và đáy bé.

Chúng ta biết:

• Đáy bé bằng \(\frac{3}{5}\) đáy lớn.
• Hiệu của đáy lớn và đáy bé là \(36 \text{ m}\).

Đây là bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của chúng.

Chúng ta có sơ đồ đoạn thẳng:

Đáy lớn:

|—–|—–|—–|—–|—–|

Đáy bé:

|—–|—–|—–|

Hiệu số phần bằng nhau là: \(5 – 3 = 2\) (phần).

Giá trị của một phần là: \(36 \div 2 = 18 \text{ (m)}\).

Độ dài đáy lớn là: \(18 \times 5 = 90 \text{ (m)}\).

Độ dài đáy bé là: \(18 \times 3 = 54 \text{ (m)}\).

(Hoặc: Đáy bé = Đáy lớn – Hiệu = \(90 – 36 = 54 \text{ m}\)).

Bước 4: Tính diện tích hình thang lúc đầu.

Công thức tính diện tích hình thang là: \(S = \frac{(\text{đáy lớn} + \text{đáy bé}) \times \text{chiều cao}}{2}\).

Diện tích hình thang lúc đầu là: \(\frac{(90 + 54) \times 23}{2}\).

Diện tích hình thang lúc đầu là: \(\frac{144 \times 23}{2}\).

Diện tích hình thang lúc đầu là: \(72 \times 23 = 1656 \text{ (m}^2)\).

Đáp số:
Diện tích hình thang lúc đầu là \(1656 \text{ m}^2\).

Các em nhớ kiểm tra lại các bước và đơn vị nhé! Quan trọng nhất là hiểu được mối quan hệ giữa phần diện tích tăng thêm và các yếu tố của hình thang. Chúc các em học tốt!