Bài 2:

Ta có hệ phương trình:
\({((2y-5x)/3+5 = (y+27)/4 – 2x),((x+1)/3 +y =(6y-5x)/7):}\)

Bước 1: Rút gọn từng phương trình về dạng \(Ax + By = C\).

a) Rút gọn phương trình thứ nhất:

\((2y-5x)/3+5 = (y+27)/4 – 2x\)

Để loại bỏ các mẫu số, ta tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 3 và 4, đó là 12.

Nhân cả hai vế của phương trình với 12:
\(12 \times ((2y-5x)/3+5) = 12 \times ((y+27)/4 – 2x)\)
\(4(2y-5x) + 12 \times 5 = 3(y+27) – 12 \times 2x\)

Thực hiện phép nhân:
\(8y – 20x + 60 = 3y + 81 – 24x\)

Chuyển các hạng tử chứa \(x, y\) về một vế, hằng số về vế còn lại:
\(-20x + 24x + 8y – 3y = 81 – 60\)
\(4x + 5y = 21\) (1)

b) Rút gọn phương trình thứ hai:

\((x+1)/3 +y =(6y-5x)/7\)

Để loại bỏ các mẫu số, ta tìm BCNN của 3 và 7, đó là 21.

Nhân cả hai vế của phương trình với 21:
\(21 \times ((x+1)/3 +y) = 21 \times ((6y-5x)/7)\)
\(7(x+1) + 21y = 3(6y-5x)\)

Thực hiện phép nhân:
\(7x + 7 + 21y = 18y – 15x\)

Chuyển các hạng tử chứa \(x, y\) về một vế, hằng số về vế còn lại:
\(7x + 15x + 21y – 18y = -7\)
\(22x + 3y = -7\) (2)

Bước 2: Giải hệ phương trình mới (1) và (2).

Ta có hệ:
\({(4x + 5y = 21 \text{ (1)}), (22x + 3y = -7 \text{ (2)}):}\)

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số (phương pháp khử). Để khử \(y\), ta nhân phương trình (1) với 3 và phương trình (2) với 5:

Phương trình (1) nhân với 3:
\(3 \times (4x + 5y) = 3 \times 21\)
\(12x + 15y = 63\) (3)

Phương trình (2) nhân với 5:
\(5 \times (22x + 3y) = 5 \times (-7)\)
\(110x + 15y = -35\) (4)

Trừ phương trình (3) cho phương trình (4) (hoặc ngược lại):
\((110x + 15y) – (12x + 15y) = -35 – 63\)
\(110x – 12x + 15y – 15y = -98\)
\(98x = -98\)
\(x = -98 / 98\)
\(x = -1\)

Thay \(x = -1\) vào phương trình (1):
\(4(-1) + 5y = 21\)
\(-4 + 5y = 21\)
\(5y = 21 + 4\)
\(5y = 25\)
\(y = 25 / 5\)
\(y = 5\)

Bước 3: Kết luận.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \((x; y) = (-1; 5)\).

—

Bài 5:

Ta có hệ phương trình:
\({(2/(x+2y)+1/(y+2x) =3),(4/(x+2y)-3/(y+2x)=1):}\)

Bước 1: Đặt ẩn phụ.

Nhận thấy trong hệ có các biểu thức lặp lại \((x+2y)\) và \((y+2x)\) ở mẫu số.

Để đơn giản hóa, ta đặt:
\(A = 1/(x+2y)\)
\(B = 1/(y+2x)\)

Với điều kiện \(x+2y \ne 0\) và \(y+2x \ne 0\).

Hệ phương trình ban đầu trở thành hệ phương trình bậc nhất hai ẩn A và B:
\({(2A + B = 3 \text{ (5)}), (4A – 3B = 1 \text{ (6)}):}\)

Bước 2: Giải hệ phương trình theo A và B.

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số. Để khử \(B\), ta nhân phương trình (5) với 3:

Phương trình (5) nhân với 3:
\(3 \times (2A + B) = 3 \times 3\)
\(6A + 3B = 9\) (7)

Cộng phương trình (7) với phương trình (6):
\((6A + 3B) + (4A – 3B) = 9 + 1\)
\(6A + 4A + 3B – 3B = 10\)
\(10A = 10\)
\(A = 10 / 10\)
\(A = 1\)

Thay \(A = 1\) vào phương trình (5):
\(2(1) + B = 3\)
\(2 + B = 3\)
\(B = 3 – 2\)
\(B = 1\)

Bước 3: Giải hệ phương trình theo x và y.

Với \(A = 1\) và \(B = 1\), ta thay ngược lại các biểu thức đã đặt:
\(1/(x+2y) = 1 \implies x+2y = 1\) (8)
\(1/(y+2x) = 1 \implies 2x+y = 1\) (9)

Ta có hệ phương trình mới:
\({(x + 2y = 1 \text{ (8)}), (2x + y = 1 \text{ (9)}):}\)

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số. Để khử \(y\), ta nhân phương trình (9) với 2:

Phương trình (9) nhân với 2:
\(2 \times (2x + y) = 2 \times 1\)
\(4x + 2y = 2\) (10)

Trừ phương trình (8) cho phương trình (10):
\((4x + 2y) – (x + 2y) = 2 – 1\)
\(4x – x + 2y – 2y = 1\)
\(3x = 1\)
\(x = 1/3\)

Thay \(x = 1/3\) vào phương trình (8):
\((1/3) + 2y = 1\)
\(2y = 1 – 1/3\)
\(2y = 2/3\)
\(y = (2/3) / 2\)
\(y = 1/3\)

Kiểm tra điều kiện \(x+2y \ne 0\) và \(y+2x \ne 0\):
\(x+2y = 1/3 + 2(1/3) = 1/3 + 2/3 = 1 \ne 0\) (Thỏa mãn)
\(y+2x = 1/3 + 2(1/3) = 1/3 + 2/3 = 1 \ne 0\) (Thỏa mãn)

Bước 4: Kết luận.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \((x; y) = (1/3; 1/3)\).

Các em hãy xem kỹ lại các bước giải và thực hành thêm các bài tập tương tự nhé! Chúc các em học tốt!