Chào các em học sinh lớp 9!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thực tế rất hay về đầu tư và lợi nhuận. Bài toán này giúp chúng ta vận dụng kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mà chúng ta đã học.

Đề bài: Một người đầu tư 100 triệu đồng vào hai dự án. Dự án A có lãi suất 8% một năm, dự án B có lãi suất 12% một năm. Sau một năm người đó thu được lợi nhuận 11 triệu đồng. Hỏi số tiền đầu tư vào mỗi dự án là bao nhiêu?

Phân tích và Giải bài toán:

Bước 1: Xác định các đại lượng cần tìm và đặt ẩn

Để giải bài toán này, trước hết chúng ta cần xác định các đại lượng chưa biết và đặt ẩn cho chúng.

Gọi:

\(x\) là số tiền (triệu đồng) mà người đó đầu tư vào Dự án A.

\(y\) là số tiền (triệu đồng) mà người đó đầu tư vào Dự án B.

Điều kiện: Số tiền đầu tư phải là số dương, tức là \(x > 0\) và \(y > 0\).

Bước 2: Lập hệ phương trình từ các thông tin đã cho

Chúng ta có hai thông tin quan trọng từ đề bài để lập thành hai phương trình:

1. Phương trình về tổng số tiền đầu tư:

Tổng số tiền người đó đầu tư vào cả hai dự án là 100 triệu đồng. Do đó, ta có phương trình:

\(x + y = 100 \quad (1)\)

2. Phương trình về tổng lợi nhuận:

Lãi suất của Dự án A là 8% một năm. Vậy, lợi nhuận thu được từ Dự án A sau một năm sẽ là \(8\% \cdot x = 0.08x\) (triệu đồng).

Lãi suất của Dự án B là 12% một năm. Vậy, lợi nhuận thu được từ Dự án B sau một năm sẽ là \(12\% \cdot y = 0.12y\) (triệu đồng).

Tổng lợi nhuận thu được sau một năm từ cả hai dự án là 11 triệu đồng. Do đó, ta có phương trình:

\(0.08x + 0.12y = 11 \quad (2)\)

Vậy, chúng ta đã có một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

\(\begin{cases} x + y = 100 \\ 0.08x + 0.12y = 11 \end{cases}\)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Cô sẽ hướng dẫn các em giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế. Từ phương trình (1), chúng ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\) (hoặc ngược lại):

Từ \((1) \Rightarrow y = 100 – x \quad (3)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay biểu thức của \(y\) từ phương trình (3) vào phương trình (2):

\(0.08x + 0.12(100 – x) = 11\)

Tiến hành giải phương trình một ẩn \(x\):

\(0.08x + 0.12 \times 100 – 0.12x = 11\)

\(0.08x + 12 – 0.12x = 11\)

Gộp các hạng tử chứa \(x\) và các hằng số:

\((0.08 – 0.12)x = 11 – 12\)

\(-0.04x = -1\)

Chia cả hai vế cho \(-0.04\):

\(x = \frac{-1}{-0.04}\)

\(x = 25\)

Vậy, số tiền đầu tư vào Dự án A là 25 triệu đồng.

Bây giờ, chúng ta đã tìm được giá trị của \(x\). Để tìm giá trị của \(y\), chúng ta thay \(x = 25\) vào phương trình (3):

\(y = 100 – x\)

\(y = 100 – 25\)

\(y = 75\)

Vậy, số tiền đầu tư vào Dự án B là 75 triệu đồng.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Kiểm tra điều kiện ban đầu: \(x = 25\) và \(y = 75\). Cả hai giá trị này đều lớn hơn 0, nên thỏa mãn điều kiện của bài toán.

Kết luận:

Số tiền người đó đầu tư vào Dự án A là 25 triệu đồng.

Số tiền người đó đầu tư vào Dự án B là 75 triệu đồng.

Để chắc chắn, các em có thể kiểm tra lại tổng lợi nhuận:

Lợi nhuận từ A: \(0.08 \times 25 = 2\) triệu đồng.

Lợi nhuận từ B: \(0.12 \times 75 = 9\) triệu đồng.

Tổng lợi nhuận: \(2 + 9 = 11\) triệu đồng. (Hoàn toàn khớp với đề bài!)

Chúc các em học tốt và hiểu rõ hơn về cách ứng dụng toán học vào các bài toán thực tế nhé!