Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm nghiệm nguyên của phương trình. Đây là một dạng toán rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8, giúp các em rèn luyện tư duy logic và khả năng biến đổi đại số.

Bài toán của chúng ta là:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(2x – y = -5\)

Trước hết, các em cần hiểu rõ thế nào là “nghiệm nguyên”. Nghiệm nguyên của một phương trình là các cặp giá trị \(x\) và \(y\) mà cả \(x\) và \(y\) đều phải là số nguyên (số nguyên bao gồm số 0, các số nguyên dương và các số nguyên âm).

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào phần giải chi tiết.

Bước 1: Biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại.

Mục tiêu của chúng ta là làm cho phương trình dễ dàng tìm nghiệm nguyên hơn. Chúng ta sẽ cố gắng biểu diễn một trong hai ẩn \(x\) hoặc \(y\) theo ẩn còn lại.

Trong phương trình \(2x – y = -5\), việc biểu diễn \(y\) theo \(x\) có vẻ đơn giản hơn.

Ta có: \(2x – y = -5\)

Chuyển \(y\) sang vế phải và chuyển \(-5\) sang vế trái, ta được:

\(2x + 5 = y\)

Hoặc ta có thể viết lại là: \(y = 2x + 5\)

Bước 2: Phân tích điều kiện nghiệm nguyên.

Bây giờ, chúng ta có một biểu thức biểu diễn \(y\) theo \(x\). Điều kiện ở đây là \(x\) và \(y\) phải là số nguyên.

Quan sát biểu thức \(y = 2x + 5\):

• Nếu \(x\) là một số nguyên bất kỳ, thì \(2x\) sẽ là một số nguyên (vì tích của hai số nguyên là một số nguyên).
• Nếu \(2x\) là một số nguyên, thì \(2x + 5\) cũng sẽ là một số nguyên (vì tổng của hai số nguyên là một số nguyên).

Như vậy, với bất kỳ giá trị nguyên nào của \(x\), chúng ta đều tìm được một giá trị nguyên tương ứng cho \(y\).

Bước 3: Kết luận về tập nghiệm nguyên.

Điều này có nghĩa là phương trình của chúng ta có vô số nghiệm nguyên.

Để tìm một nghiệm nguyên cụ thể, chúng ta chỉ cần chọn một giá trị nguyên bất kỳ cho \(x\) và thay vào biểu thức \(y = 2x + 5\).

Ví dụ:

• Nếu ta chọn \(x = 0\), thì \(y = 2(0) + 5 = 5\). Vậy ta có cặp nghiệm nguyên là \((0, 5)\).
• Nếu ta chọn \(x = 1\), thì \(y = 2(1) + 5 = 7\). Vậy ta có cặp nghiệm nguyên là \((1, 7)\).
• Nếu ta chọn \(x = -1\), thì \(y = 2(-1) + 5 = -2 + 5 = 3\). Vậy ta có cặp nghiệm nguyên là \((-1, 3)\).
• Nếu ta chọn \(x = 10\), thì \(y = 2(10) + 5 = 20 + 5 = 25\). Vậy ta có cặp nghiệm nguyên là \((10, 25)\).

Chúng ta có thể tổng quát hóa tập nghiệm nguyên của phương trình này. Nếu ta gọi \(x\) là một số nguyên bất kỳ, ký hiệu là \(k\) (với \(k \in \mathbb{Z}\)), thì giá trị tương ứng của \(y\) sẽ là \(2k + 5\).

Do đó, tập nghiệm nguyên của phương trình đã cho là tất cả các cặp \((x, y)\) có dạng:

\((k, 2k + 5)\), với \(k\) là một số nguyên bất kỳ.

Tóm lại:

Để tìm nghiệm nguyên của phương trình \(2x – y = -5\), ta biến đổi về dạng \(y = 2x + 5\). Vì với mọi số nguyên \(x\), \(y\) luôn nhận giá trị nguyên, nên phương trình có vô số nghiệm nguyên.

Tập nghiệm nguyên được biểu diễn dưới dạng \((k, 2k + 5)\), trong đó \(k\) là một số nguyên tùy ý.

Các em có câu hỏi nào không? Nếu không, chúng ta sẽ sang bài tập tiếp theo.