Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta.

Đề bài: Cho đường thẳng d1 có phương trình y=2x-y+1=0 và đường thẳng d2 có phương trình y=2mx-1. Tìm m để:

a, d1 cắt d2
b, d1 vuông góc với d2
c, d1 song song với d2

Trước hết, chúng ta cần xác định rõ ràng phương trình của hai đường thẳng d1 và d2, đặc biệt là hệ số góc (độ dốc) và tung độ gốc của mỗi đường. Nhớ lại rằng một đường thẳng có dạng tổng quát là \(y = ax + b\), trong đó \(a\) là hệ số góc và \(b\) là tung độ gốc.

Phân tích các đường thẳng:

1. Đường thẳng d1:
Phương trình đề bài cho là: \(y = 2x – y + 1 = 0\).

Ở đây, cách viết phương trình d1 hơi đặc biệt một chút. Trong Toán học, khi viết \(A=B=C\), điều này có nghĩa là \(A=B\) và \(B=C\). Nếu hiểu theo nghĩa đen thì \(y = 2x – y + 1\) và \(2x – y + 1 = 0\). Tuy nhiên, đây thường là một cách viết tắt hoặc một lỗi nhỏ, và ý của đề bài là phương trình của d1 là \(2x – y + 1 = 0\). Chúng ta sẽ làm theo cách hiểu phổ biến này.

Chuyển phương trình \(2x – y + 1 = 0\) về dạng \(y = ax + b\):
\(2x – y + 1 = 0\)
Để \(y\) ở một vế và các thành phần khác ở vế còn lại, chúng ta có thể chuyển \( -y \) sang vế phải hoặc chuyển \( 2x + 1 \) sang vế phải:
\(2x + 1 = y\)
Hay \(y = 2x + 1\)

Vậy, đường thẳng d1 có:

• Hệ số góc \(a_1 = 2\)
• Tung độ gốc \(b_1 = 1\)

2. Đường thẳng d2:
Phương trình đề bài cho là: \(y = 2mx – 1\). Phương trình này đã ở dạng \(y = ax + b\).

Vậy, đường thẳng d2 có:

• Hệ số góc \(a_2 = 2m\)
• Tung độ gốc \(b_2 = -1\)

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng yêu cầu của bài toán dựa trên các điều kiện về vị trí tương đối của hai đường thẳng.

a, Tìm m để d1 cắt d2

Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi chúng có hệ số góc khác nhau.

Điều kiện: \(a_1 \neq a_2\)
Thay các giá trị \(a_1\) và \(a_2\) mà chúng ta vừa tìm được vào điều kiện này:
\(2 \neq 2m\)
Để tìm \(m\), chúng ta chia cả hai vế của bất đẳng thức cho 2:
\(1 \neq m\)
Hay \(m \neq 1\)

Kết luận: Để đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 thì giá trị của \(m\) phải khác 1.

b, Tìm m để d1 vuông góc với d2

Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích hai hệ số góc của chúng bằng -1. (Lưu ý: trường hợp đường thẳng đứng và đường thẳng ngang thì không áp dụng công thức tích hệ số góc, nhưng ở đây cả hai hệ số góc đều xác định).

Điều kiện: \(a_1 \times a_2 = -1\)
Thay các giá trị \(a_1\) và \(a_2\) vào:
\(2 \times (2m) = -1\)
Thực hiện phép nhân ở vế trái:
\(4m = -1\)
Để tìm \(m\), chúng ta chia cả hai vế cho 4:
\(m = -\frac{1}{4}\)

Kết luận: Để đường thẳng d1 vuông góc với đường thẳng d2 thì \(m = -\frac{1}{4}\).

c, Tìm m để d1 song song với d2

Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng có hệ số góc bằng nhau và tung độ gốc khác nhau.

Điều kiện: \(a_1 = a_2\) VÀ \(b_1 \neq b_2\)

Bước 1: Tìm giá trị của \(m\) để hệ số góc của hai đường thẳng bằng nhau (\(a_1 = a_2\)).
\(2 = 2m\)
Chia cả hai vế cho 2:
\(m = 1\)

Bước 2: Kiểm tra điều kiện tung độ gốc khác nhau (\(b_1 \neq b_2\)) với giá trị \(m\) vừa tìm được. (Thực ra, điều kiện này cần được kiểm tra với \(m\) tìm được, nhưng trong trường hợp này, \(b_1\) và \(b_2\) đã là hằng số và không phụ thuộc vào \(m\)).
Chúng ta có \(b_1 = 1\) và \(b_2 = -1\).
Rõ ràng, \(1 \neq -1\).
Điều kiện này luôn đúng, không phụ thuộc vào giá trị của \(m\). Do đó, với \(m=1\), hai đường thẳng sẽ có hệ số góc bằng nhau và tung độ gốc khác nhau, thỏa mãn điều kiện song song.

Kết luận: Để đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 thì \(m = 1\).

Các em nhớ kỹ các điều kiện về hệ số góc và tung độ gốc để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!

Chúc các em học tốt!