Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về hình chữ nhật. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng kiến thức về diện tích hình chữ nhật và kỹ năng lập, giải phương trình. Nào, chúng ta cùng bắt đầu!

Bài toán: Tính diện tích hình chữ nhật, biết rằng:

1. Nếu tăng mỗi chiều của hình chữ nhật thêm 4m thì diện tích của hình chữ nhật tăng thêm 156m².

2. Nếu giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài thêm 5m thì diện tích hình chữ nhật bằng diện tích ban đầu.

Phân tích bài toán và các bước giải:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Đặt ẩn cho các đại lượng cần tìm (chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu).
2. Biểu diễn diện tích hình chữ nhật ban đầu theo các ẩn.
3. Dựa vào điều kiện thứ nhất của đề bài, lập một phương trình toán học.
4. Dựa vào điều kiện thứ hai của đề bài, lập một phương trình toán học khác.
5. Giải hệ phương trình đã lập để tìm giá trị của các ẩn.
6. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đặt ẩn

Gọi chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là \(x\) (m).

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là \(y\) (m).

Với điều kiện \(x > 0\) và \(y > 0\).

Bước 2: Biểu diễn diện tích hình chữ nhật ban đầu

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là: \(S = x \cdot y\) (m²).

Bước 3: Lập phương trình dựa vào điều kiện thứ nhất

Nếu tăng mỗi chiều của hình chữ nhật thêm 4m, thì chiều dài mới là \(x + 4\) (m) và chiều rộng mới là \(y + 4\) (m).

Diện tích hình chữ nhật mới là: \(S_{mới1} = (x + 4)(y + 4)\) (m²).

Theo đề bài, diện tích hình chữ nhật tăng thêm 156m², nghĩa là \(S_{mới1} = S + 156\).

Ta có phương trình:

\((x + 4)(y + 4) = xy + 156\)

Mở rộng biểu thức trên:

\(xy + 4x + 4y + 16 = xy + 156\)

Trừ cả hai vế cho \(xy\):

\(4x + 4y + 16 = 156\)

Chuyển 16 sang vế phải:

\(4x + 4y = 156 – 16\)

\(4x + 4y = 140\)

Chia cả hai vế cho 4:

\(x + y = 35\) (1)

Bước 4: Lập phương trình dựa vào điều kiện thứ hai

Nếu giảm chiều rộng đi 3m, thì chiều rộng mới là \(y – 3\) (m).

Nếu tăng chiều dài thêm 5m, thì chiều dài mới là \(x + 5\) (m).

Diện tích hình chữ nhật lúc này là: \(S_{mới2} = (x + 5)(y – 3)\) (m²).

Theo đề bài, diện tích hình chữ nhật lúc này bằng diện tích ban đầu, nghĩa là \(S_{mới2} = S\).

Ta có phương trình:

\((x + 5)(y – 3) = xy\)

Mở rộng biểu thức trên:

\(xy – 3x + 5y – 15 = xy\)

Trừ cả hai vế cho \(xy\):

\(-3x + 5y – 15 = 0\)

Chuyển -15 sang vế phải:

\(-3x + 5y = 15\) (2)

Bước 5: Giải hệ phương trình

Chúng ta đã có hệ phương trình:

\( \begin{cases} x + y = 35 \\ -3x + 5y = 15 \end{cases} \)

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \(x\) theo \(y\): \(x = 35 – y\).

Thế \(x = 35 – y\) vào phương trình (2):

\(-3(35 – y) + 5y = 15\)

\(-105 + 3y + 5y = 15\)

\(8y = 15 + 105\)

\(8y = 120\)

\(y = \frac{120}{8}\)

\(y = 15\) (m)

Bây giờ, thế giá trị của \(y\) vào \(x = 35 – y\):

\(x = 35 – 15\)

\(x = 20\) (m)

Chúng ta đã tìm được chiều dài \(x = 20\)m và chiều rộng \(y = 15\)m. Cả hai giá trị đều dương, thỏa mãn điều kiện.

Bước 6: Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là \(S = x \cdot y\).

\(S = 20 \cdot 15\)

\(S = 300\) (m²)

Kiểm tra lại kết quả:

Điều kiện 1: Tăng mỗi chiều thêm 4m. Chiều dài mới: \(20+4=24\)m, chiều rộng mới: \(15+4=19\)m. Diện tích mới: \(24 \times 19 = 456\)m². Diện tích tăng thêm: \(456 – 300 = 156\)m². Đúng.

Điều kiện 2: Giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài 5m. Chiều dài mới: \(20+5=25\)m, chiều rộng mới: \(15-3=12\)m. Diện tích mới: \(25 \times 12 = 300\)m². Bằng diện tích ban đầu. Đúng.

Kết luận:

Vậy, diện tích của hình chữ nhật ban đầu là 300m².

Các em thấy đó, với việc áp dụng đúng các bước và kỹ năng biến đổi đại số, chúng ta hoàn toàn có thể chinh phục được bài toán này. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nâng cao kỹ năng của mình nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.