Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế về hình chữ nhật. Bài toán này yêu cầu chúng ta tìm diện tích của một mảnh đất hình chữ nhật dựa trên thông tin về sự thay đổi diện tích khi thay đổi kích thước.

Bài toán: Một mảnh đất hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài thêm 2m và chiều rộng thêm 5m thì diện tích tăng thêm 120m². Nếu giảm chiều dài đi 3m và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 60m². Tính diện tích mảnh đất.

Bước 1: Đặt ẩn và biểu diễn các đại lượng

Gọi chiều dài ban đầu của mảnh đất là \(l\) (m) và chiều rộng ban đầu là \(w\) (m).

Điều kiện: \(l > 0\) và \(w > 0\).

Diện tích ban đầu của mảnh đất là \(S = l \times w\) (m²).

Bước 2: Biểu diễn các tình huống theo ẩn

Tình huống 1: Tăng chiều dài 2m và chiều rộng 5m.

Chiều dài mới là: \(l’ = l + 2\) (m)

Chiều rộng mới là: \(w’ = w + 5\) (m)

Diện tích mới là: \(S’ = l’ \times w’ = (l + 2)(w + 5)\) (m²)

Theo đề bài, diện tích tăng thêm 120m², nên ta có phương trình:

\(S’ – S = 120\)

\((l + 2)(w + 5) – lw = 120\)

Ta khai triển và rút gọn phương trình này:

\(lw + 5l + 2w + 10 – lw = 120\)

\(5l + 2w + 10 = 120\)

\(5l + 2w = 110\) (1)

Tình huống 2: Giảm chiều dài 3m và chiều rộng 2m.

Chiều dài mới là: \(l” = l – 3\) (m)

Chiều rộng mới là: \(w” = w – 2\) (m)

Diện tích mới là: \(S” = l” \times w” = (l – 3)(w – 2)\) (m²)

Theo đề bài, diện tích giảm đi 60m², nên ta có phương trình:

\(S – S” = 60\)

\(lw – (l – 3)(w – 2) = 60\)

Ta khai triển và rút gọn phương trình này:

\(lw – (lw – 2l – 3w + 6) = 60\)

\(lw – lw + 2l + 3w – 6 = 60\)

\(2l + 3w – 6 = 60\)

\(2l + 3w = 66\) (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Bây giờ chúng ta có một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(l\) và \(w\):

1) \(5l + 2w = 110\)

2) \(2l + 3w = 66\)

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải hệ này. Thầy sẽ dùng phương pháp cộng đại số.

Nhân phương trình (1) với 3 và phương trình (2) với 2 để hệ số của \(w\) đối nhau:

3 * (1): \(15l + 6w = 330\) (3)

2 * (2): \(4l + 6w = 132\) (4)

Trừ phương trình (4) cho phương trình (3):

\((15l + 6w) – (4l + 6w) = 330 – 132\)

\(11l = 198\)

\(l = \frac{198}{11}\)

\(l = 18\) (m)

Thay giá trị \(l = 18\) vào phương trình (2) (hoặc phương trình (1)) để tìm \(w\):

\(2l + 3w = 66\)

\(2(18) + 3w = 66\)

\(36 + 3w = 66\)

\(3w = 66 – 36\)

\(3w = 30\)

\(w = \frac{30}{3}\)

\(w = 10\) (m)

Chúng ta kiểm tra lại điều kiện \(l > 0\) và \(w > 0\). \(l=18\) và \(w=10\) đều thỏa mãn.

Bước 4: Tính diện tích mảnh đất

Diện tích ban đầu của mảnh đất là \(S = l \times w\).

\(S = 18 \times 10\)

\(S = 180\) (m²)

Đáp án: Diện tích mảnh đất là 180m².

Các em thấy đấy, với bài toán này, việc lập phương trình dựa trên các thông tin đề bài cho là rất quan trọng. Sau đó, chúng ta chỉ cần giải hệ phương trình và tính toán là có kết quả. Các em có câu hỏi nào không?