Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán hình học về tam giác, yêu cầu tính các đại lượng cơ bản như diện tích (S), bán kính đường tròn ngoại tiếp (R), bán kính đường tròn nội tiếp (r) và cosin của một góc (cos A) khi biết độ dài ba cạnh của tam giác.

Đề bài: Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c lần lượt là:

• \(a = \sqrt{6}\)
• \(b = 3\)
• \(c = \sqrt{3} + 1\)

Hãy tính S, R, r, cos A.

Để giải quyết bài toán này một cách chi tiết, chúng ta sẽ lần lượt áp dụng các công thức trong tam giác. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước nhé!

—

Bước 1: Tính \( \cos A \)

Chúng ta sử dụng Định lý cosin để tính \( \cos A \). Định lý cosin phát biểu rằng:

\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A\)

Từ đó, ta có thể suy ra công thức tính \( \cos A \):

\( \cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \)

Đầu tiên, chúng ta tính bình phương độ dài các cạnh:

• \(a^2 = (\sqrt{6})^2 = 6\)
• \(b^2 = 3^2 = 9\)
• \(c^2 = (\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}\)

Bây giờ, thay các giá trị này vào công thức của \( \cos A \):

\( \cos A = \frac{9 + (4 + 2\sqrt{3}) – 6}{2 \cdot 3 \cdot (\sqrt{3} + 1)} \)

\( \cos A = \frac{9 + 4 + 2\sqrt{3} – 6}{6(\sqrt{3} + 1)} \)

\( \cos A = \frac{7 + 2\sqrt{3}}{6(\sqrt{3} + 1)} \)

Để đơn giản hóa biểu thức này, chúng ta sẽ nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu số, tức là \( \sqrt{3} – 1 \):

\( \cos A = \frac{(7 + 2\sqrt{3})(\sqrt{3} – 1)}{6(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)} \)

Tính tử số:

\( (7 + 2\sqrt{3})(\sqrt{3} – 1) = 7\sqrt{3} – 7 + 2(\sqrt{3})^2 – 2\sqrt{3} \)

\( = 7\sqrt{3} – 7 + 2 \cdot 3 – 2\sqrt{3} \)

\( = 7\sqrt{3} – 7 + 6 – 2\sqrt{3} \)

\( = 5\sqrt{3} – 1 \)

Tính mẫu số:

\( 6(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1) = 6((\sqrt{3})^2 – 1^2) \)

\( = 6(3 – 1) = 6 \cdot 2 = 12 \)

Vậy, \( \cos A \) là:

\( \cos A = \frac{5\sqrt{3} – 1}{12} \)

Bước 2: Tính Diện tích \( S \)

Để tính diện tích S, chúng ta cần tìm \( \sin A \). Chúng ta có công thức:

\( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \)

Vì A là một góc trong tam giác, \( \sin A > 0 \), nên \( \sin A = \sqrt{1 – \cos^2 A} \)

Tính \( \cos^2 A \):

\( \cos^2 A = \left(\frac{5\sqrt{3} – 1}{12}\right)^2 \)

\( = \frac{(5\sqrt{3})^2 – 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2}{12^2} \)

\( = \frac{25 \cdot 3 – 10\sqrt{3} + 1}{144} \)

\( = \frac{75 – 10\sqrt{3} + 1}{144} \)

\( = \frac{76 – 10\sqrt{3}}{144} \)

Bây giờ tính \( \sin A \):

\( \sin^2 A = 1 – \frac{76 – 10\sqrt{3}}{144} \)

\( = \frac{144 – (76 – 10\sqrt{3})}{144} \)

\( = \frac{144 – 76 + 10\sqrt{3}}{144} \)

\( = \frac{68 + 10\sqrt{3}}{144} \)

\( \sin A = \sqrt{\frac{68 + 10\sqrt{3}}{144}} = \frac{\sqrt{68 + 10\sqrt{3}}}{12} \)

Để kiểm tra xem biểu thức \( \sqrt{68 + 10\sqrt{3}} \) có thể rút gọn được hay không, chúng ta tìm hai số M, N sao cho \( M+N = 68 \) và \( MN = (10\sqrt{3}/2)^2 = (5\sqrt{3})^2 = 75 \). Các cặp số có tích bằng 75 là (1,75), (3,25), (5,15). Tổng của chúng lần lượt là 76, 28, 20. Không có cặp nào có tổng bằng 68. Do đó, biểu thức này không thể rút gọn thêm thành dạng \( \sqrt{x} \pm \sqrt{y} \) hoặc \( P + Q\sqrt{3} \).

Bây giờ chúng ta tính diện tích S bằng công thức:

\( S = \frac{1}{2} bc \sin A \)

\( S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{68 + 10\sqrt{3}}}{12} \)

\( S = \frac{3(\sqrt{3} + 1)\sqrt{68 + 10\sqrt{3}}}{24} \)

\( S = \frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{68 + 10\sqrt{3}}}{8} \)

Bước 3: Tính Bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \)

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R là:

\( R = \frac{abc}{4S} \)

Thay các giá trị a, b, c và S đã tính vào công thức:

\( R = \frac{\sqrt{6} \cdot 3 \cdot (\sqrt{3} + 1)}{4 \cdot \frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{68 + 10\sqrt{3}}}{8}} \)

\( R = \frac{3\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)}{\frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{68 + 10\sqrt{3}}}{2}} \)

Chúng ta có thể rút gọn \( (\sqrt{3} + 1) \) ở tử và mẫu:

\( R = \frac{3\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{68 + 10\sqrt{3}}}{2}} \)

\( R = \frac{3\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{68 + 10\sqrt{3}}} \)

\( R = \frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{68 + 10\sqrt{3}}} \)

Để làm mất căn ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{68 + 10\sqrt{3}} \):

\( R = \frac{6\sqrt{6} \cdot \sqrt{68 + 10\sqrt{3}}}{68 + 10\sqrt{3}} \)

\( R = \frac{6\sqrt{6(68 + 10\sqrt{3})}}{68 + 10\sqrt{3}} \)

\( R = \frac{6\sqrt{408 + 60\sqrt{3}}}{68 + 10\sqrt{3}} \)

Chúng ta có thể rút gọn hằng số chung 2 ở mẫu và 6 ở tử (dưới căn):

\( R = \frac{3\sqrt{4(102 + 15\sqrt{3})}}{34 + 5\sqrt{3}} \)

\( R = \frac{3 \cdot 2 \sqrt{102 + 15\sqrt{3}}}{34 + 5\sqrt{3}} \)

\( R = \frac{6 \sqrt{102 + 15\sqrt{3}}}{34 + 5\sqrt{3}} \)

Bước 4: Tính Bán kính đường tròn nội tiếp \( r \)

Để tính bán kính đường tròn nội tiếp r, chúng ta cần tính nửa chu vi p trước.

Nửa chu vi p là:

\( p = \frac{a + b + c}{2} \)

\( p = \frac{\sqrt{6} + 3 + (\sqrt{3} + 1)}{2} \)

\( p = \frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{6}}{2} \)

Công thức tính r là:

\( r = \frac{S}{p} \)

Thay S và p đã tính vào công thức:

\( r = \frac{\frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{68 + 10\sqrt{3}}}{8}}{\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{6}}{2}} \)

\( r = \frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{68 + 10\sqrt{3}}}{8} \cdot \frac{2}{4 + \sqrt{3} + \sqrt{6}} \)

\( r = \frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{68 + 10\sqrt{3}}}{4(4 + \sqrt{3} + \sqrt{6})} \)

Biểu thức này khá phức tạp, việc rút gọn mẫu số có ba hạng tử chứa căn sẽ rất dài và phức tạp, nên chúng ta giữ nguyên dạng này.

—

Tóm tắt kết quả:

Sau khi thực hiện các phép tính chi tiết, chúng ta có các kết quả sau:

• Cosin của góc A: \( \cos A = \frac{5\sqrt{3} – 1}{12} \)

• Diện tích tam giác: \( S = \frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{68 + 10\sqrt{3}}}{8} \) (đơn vị diện tích)

• Bán kính đường tròn ngoại tiếp: \( R = \frac{6 \sqrt{102 + 15\sqrt{3}}}{34 + 5\sqrt{3}} \) (đơn vị độ dài)

• Bán kính đường tròn nội tiếp: \( r = \frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{68 + 10\sqrt{3}}}{4(4 + \sqrt{3} + \sqrt{6})} \) (đơn vị độ dài)

Các em lưu ý, trong một số bài toán, các số liệu có thể được chọn để cho ra các kết quả gọn hơn hoặc các góc đặc biệt. Trong trường hợp này, các giá trị thu được khá phức tạp, điều đó cho thấy có thể góc A không phải là một góc đặc biệt quen thuộc (như 30, 45, 60 độ), hoặc việc đơn giản hóa thêm các biểu thức chứa căn phức tạp là không khả thi.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào về các bước giải, các em hãy hỏi lại nhé!