Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một bài toán thú vị về đa thức. Đây là một dạng bài giúp chúng ta rèn luyện khả năng tư duy logic và kỹ năng thay thế giá trị vào biểu thức.

Đề bài của chúng ta như sau:

Chứng minh đa thức \(p(x)\) có ít nhất 3 nghiệm, biết rằng \((x^2-9)p(x)=(2x-2)p(x+1)\).

Trước hết, chúng ta hãy cùng nhau nhắc lại một chút về khái niệm nghiệm của đa thức nhé!

Một số \(a\) được gọi là nghiệm của đa thức \(p(x)\) nếu khi chúng ta thay \(x = a\) vào đa thức thì \(p(a) = 0\).

Bây giờ, chúng ta hãy cùng phân tích biểu thức đã cho: \((x^2-9)p(x)=(2x-2)p(x+1)\). Mục tiêu của chúng ta là tìm ra các giá trị của \(x\) sao cho \(p(x) = 0\).

Ý tưởng chính: Chúng ta sẽ thử chọn các giá trị đặc biệt của \(x\) để một trong hai vế của phương trình bằng 0. Từ đó, chúng ta có thể suy ra được \(p(a)=0\) cho một giá trị \(a\) nào đó.

Chúng ta hãy bắt đầu nhé!

Bước 1: Làm cho vế trái bằng 0.

Vế trái của phương trình là \((x^2-9)p(x)\). Để vế trái bằng 0, chúng ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1a: \(x^2-9 = 0\)

Trường hợp 1b: \(p(x) = 0\)

Chúng ta hãy tập trung vào Trường hợp 1a trước. Nếu \(x^2-9 = 0\), điều này có nghĩa là \(x^2 = 9\). Từ đó, chúng ta có hai giá trị của \(x\): \(x = 3\) hoặc \(x = -3\).

Xét \(x = 3\):

Thay \(x=3\) vào phương trình đã cho, ta được:

\((3^2-9)p(3) = (2 \cdot 3 – 2)p(3+1)\)

\((9-9)p(3) = (6-2)p(4)\)

\(0 \cdot p(3) = 4 \cdot p(4)\)

\(0 = 4 \cdot p(4)\)

Để tích \(4 \cdot p(4)\) bằng 0, thì \(p(4)\) phải bằng 0.

Vậy, chúng ta đã tìm được nghiệm thứ nhất của đa thức \(p(x)\) là \(x = 4\).

Hay nói cách khác, \(p(4) = 0\).

Xét \(x = -3\):

Thay \(x=-3\) vào phương trình đã cho, ta được:

\((-3)^2-9)p(-3) = (2 \cdot (-3) – 2)p(-3+1)\)

\((9-9)p(-3) = (-6-2)p(-2)\)

\(0 \cdot p(-3) = -8 \cdot p(-2)\)

\(0 = -8 \cdot p(-2)\)

Để tích \(-8 \cdot p(-2)\) bằng 0, thì \(p(-2)\) phải bằng 0.

Vậy, chúng ta đã tìm được nghiệm thứ hai của đa thức \(p(x)\) là \(x = -2\).

Hay nói cách khác, \(p(-2) = 0\).

Bước 2: Làm cho vế phải bằng 0.

Vế phải của phương trình là \((2x-2)p(x+1)\). Để vế phải bằng 0, chúng ta cũng có hai trường hợp:

Trường hợp 2a: \(2x-2 = 0\)

Trường hợp 2b: \(p(x+1) = 0\)

Chúng ta hãy tập trung vào Trường hợp 2a trước. Nếu \(2x-2 = 0\), điều này có nghĩa là \(2x = 2\), vậy \(x = 1\).

Xét \(x = 1\):

Thay \(x=1\) vào phương trình đã cho, ta được:

\((1^2-9)p(1) = (2 \cdot 1 – 2)p(1+1)\)

\((1-9)p(1) = (2-2)p(2)\)

\(-8 \cdot p(1) = 0 \cdot p(2)\)

\(-8 \cdot p(1) = 0\)

Để tích \(-8 \cdot p(1)\) bằng 0, thì \(p(1)\) phải bằng 0.

Vậy, chúng ta đã tìm được nghiệm thứ ba của đa thức \(p(x)\) là \(x = 1\).

Hay nói cách khác, \(p(1) = 0\).

Kết luận:

Qua các bước phân tích trên, chúng ta đã tìm được ba giá trị khác nhau của \(x\) làm cho đa thức \(p(x)\) bằng 0:

• \(x = 4\)
• \(x = -2\)
• \(x = 1\)

Vì \(4, -2, 1\) là ba số phân biệt, nên đa thức \(p(x)\) có ít nhất 3 nghiệm là \(4, -2, 1\).

Bài toán đến đây là kết thúc rồi! Các em thấy không, chỉ bằng cách thử các giá trị đặc biệt, chúng ta đã có thể giải quyết được bài toán một cách dễ dàng. Hãy luôn nhớ rằng việc phân tích kỹ đề bài và tìm ra những “điểm đặc biệt” là chìa khóa để giải toán hiệu quả nhé!

Chúc các em học tốt!