Chào các em học sinh thân mến,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về tính chia hết của đa thức. Đây là một dạng bài rất quan trọng, giúp các em củng cố kiến thức về phép chia đa thức và lý thuyết số.

Đề bài: Có bao nhiêu số nguyên \(n\) để mệnh đề \(P(n)\): ” \(2n^3+n^2+7n+1\) chia hết cho \(2n-1\)” là mệnh đề đúng?

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của \(n\) sao cho phép chia đa thức \(2n^3+n^2+7n+1\) cho \(2n-1\) có số dư bằng \(0\).

Chúng ta có thể sử dụng hai phương pháp chính:

Phương pháp 1: Chia đa thức trực tiếp

Chúng ta sẽ thực hiện phép chia đa thức \(2n^3+n^2+7n+1\) cho \(2n-1\):

    \(n^2\)   \(+\) \(n\)   \(+\) \(4\)
  ____________
\(2n-1\) | \(2n^3\) \(+\) \(n^2\) \(+\) \(7n\) \(+\) \(1\)
        -(\(2n^3\) \(-\) \(n^2\))
        _______________
              \(2n^2\) \(+\) \(7n\)
            -(\(2n^2\) \(-\) \(n\))
            ___________
                   \(8n\) \(+\) \(1\)
                 -(\(8n\) \(-\) \(4\))
                 _________
                       \(5\)

Từ phép chia trên, ta có thể viết:
\(2n^3+n^2+7n+1 = (2n-1)(n^2+n+4) + 5\)

Để \(2n^3+n^2+7n+1\) chia hết cho \(2n-1\), thì số dư của phép chia phải bằng \(0\).
Trong trường hợp này, số dư là \(5\).
Do đó, để đa thức đã cho chia hết cho \(2n-1\), thì \(5\) phải chia hết cho \(2n-1\).

Phương pháp 2: Sử dụng Định lý Bezout (Định lý phần dư)

Theo Định lý Bezout, số dư của phép chia đa thức \(P(n)\) cho \(an-b\) là \(P(\frac{b}{a})\).
Trong bài toán này, \(P(n) = 2n^3+n^2+7n+1\) và đa thức chia là \(2n-1\).
Vậy ta có \(a=2\) và \(b=1\).
Số dư của phép chia sẽ là \(P(\frac{1}{2})\).

Hãy tính \(P(\frac{1}{2})\):
\(P(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^2 + 7(\frac{1}{2}) + 1\)
\(P(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} + \frac{7}{2} + 1\)
\(P(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{14}{4} + \frac{4}{4}\)
\(P(\frac{1}{2}) = \frac{1+1+14+4}{4} = \frac{20}{4} = 5\)

Số dư của phép chia là \(5\).
Để \(P(n)\) chia hết cho \(2n-1\), thì số dư này phải chia hết cho \(2n-1\). Hay nói cách khác, \(2n-1\) phải là một ước của \(5\).

Tìm các giá trị nguyên của \(n\)

Từ cả hai phương pháp trên, chúng ta đều đi đến kết luận rằng \(2n-1\) phải là một ước của \(5\).

Các ước của \(5\) là: \(\{-5, -1, 1, 5\}\).

Ta xét từng trường hợp:

Trường hợp 1: \(2n-1 = -5\)
\(2n = -5 + 1\)
\(2n = -4\)
\(n = -2\) (Đây là một số nguyên, thỏa mãn)

Trường hợp 2: \(2n-1 = -1\)
\(2n = -1 + 1\)
\(2n = 0\)
\(n = 0\) (Đây là một số nguyên, thỏa mãn)

Trường hợp 3: \(2n-1 = 1\)
\(2n = 1 + 1\)
\(2n = 2\)
\(n = 1\) (Đây là một số nguyên, thỏa mãn)

Trường hợp 4: \(2n-1 = 5\)
\(2n = 5 + 1\)
\(2n = 6\)
\(n = 3\) (Đây là một số nguyên, thỏa mãn)

Vậy, có \(4\) giá trị nguyên của \(n\) làm cho mệnh đề \(P(n)\) đúng, đó là: \(-2, 0, 1, 3\).

Kết luận:

Có \(4\) số nguyên \(n\) để mệnh đề \(P(n)\): ” \(2n^3+n^2+7n+1\) chia hết cho \(2n-1\)” là mệnh đề đúng.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách làm và có thể áp dụng cho các bài toán tương tự nhé!